Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 41
Use o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da região.
A região englobada pelos gráficos de e .
Passo 1
Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:
Ou
E calculá-la.
Mas para descobrir os extremos de integração, muitas vezes precisamos achar a interseção entre curvas, e é aí que entra o método de Newton. Ele diz que usando essa fórmula:
Achamos uma aproximação para que zera a função . E para achar a interseção entre duas funções e a partir desse método, fazemos:
E chamamos:
Aí só usar a fórmulinha. Belezinha? Vamos começar!
Passo 2
Essa é a nossa região:
Vemos que a região está limitada por cima pela função e por baixo pela função . Já que temos funções de , podemos escrever nossa integral como:
O desafio é achar os extremos de integração. Vamos fazer a interseção entre as curvas:
A solução dessa equação, a gente vai ter que achar usando o método de Newton.
Agora a gente usa a fórmula de Newton até aproximar o valor de com pelo menos quatro casas decimais:
Pelo gráfico a gente vê que nossa equação tem duas soluções, então vamos precisar achar e . Olhando para o gráfico vemos que está entre e , por isso vamos chutar , para fugir da divisão por . Já olhando para , vemos que ele está entre e , por isso vamos chutar . Vemos que e já repitiram 4 casas decimais, e o mesmo acontece para e .
Logo, nosso e .
Passo 3
Agora é só calcular a integral:
Usando uma substituição simples na expressão com , . Calculamos a integral e vemos que: