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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.5 - Ex. 4

Calcule f^' (x) sendo

a) f (x) = tg x

b) f (x) = sec x

Passo 1

Bom pessoal, nós sabemos que:

tan x = (sen x)/(cos x)

Sendo assim, pela regra do quociente, temos que:

(tan x)^' = ((sen x)^' cos x - (cos x)^' sen x)/((cos x)^2)

Logo,

(tan x)^' = (cos^2 x - (- sen x) sen x)/(cos^2 x) = (cos^2 x + sen^2 x)/(cos^2 x)

Pela relação trigonométrica fundamental, achamos que:

cos^2 x + sen^2 x = 1

Portanto,

(tan x)^' = (cos^2 x + sen^2 x)/(cos^2 x) = (1)/(cos^2 x) = sec^2 x

Passo 2

Então galera, nós sabemos que:

sec x = (1)/(cos x)

Sendo assim, pela regra do quociente, temos que:

(sec x)^' = ((1)^' cos x - (cos x)^' 1)/(cos^2 x)

Logo,

(sec x)^' = (sen x)/(cos^2 x) = (1)/(cos x) * (s e n x)/(cos x)

Portanto,

f^' (x) = sec x * tg x

Resposta

a)

f ' (x) = sec^2 x

b)

f^' (x) = sec x * tg x

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