Calcule f'(x) sendo

a) f(x) = tg(x)

b) f(x) = sec x

Passo 1

Bom pessoal, nós sabemos que:

tan ⁡ x = sen ⁡ x cos ⁡ x

Sendo assim, pela regra do quociente, temos que:

tan ⁡ x ' = sen ⁡ x ' cos ⁡ x - cos ⁡ x ' sen ⁡ x cos ⁡ x 2

Logo,

tan ⁡ x ' = cos 2 ⁡ x - - sen ⁡ x sen ⁡ x cos 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Pela relação trigonométrica fundamental, achamos que:

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1

Portanto,

tan ⁡ x ' = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Passo 2

Então galera, nós sabemos que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Sendo assim, pela regra do quociente, temos que:

sec ⁡ x ' = 1 ' cos ⁡ x - cos ⁡ x ' 1 cos 2 ⁡ x

Logo,

sec ⁡ x ' = sen ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos ⁡ x * s e n x cos ⁡ x

Portanto,

f ' x = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Resposta

a)

f ' x = sec 2 ⁡ x

b)

f ' x = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

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