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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 18

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(sqrt(5 s + 4)) d s

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de (1)/(sqrt(s)) com 5 s + 4 , então vamos fazer

u = 5 s + 4

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d s no final:

u = 5 s + 4 -> d u = (5 s + 4)^' d s = (5) d s

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int (1)/(sqrt(5 s + 4)) d s

O termo dentro da raiz é o próprio u !

int (1)/(sqrt(u)) d s

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (5) d s -> (d u)/(5) = ((1)/(5)) (5) d s -> (d u)/(5) = d s

Agora podemos substituir na integral :D

int (1)/(sqrt(u)) d s = int (1)/(sqrt(u)) ((d u)/(5)) = (1)/(5) int (1)/(sqrt(u)) d u = (1)/(5) int u^(- (1)/(2)) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

(1)/(5) int u^(- (1)/(2)) d u = ((1)/(5)) (2 u^((1)/(2))) + C = (2 sqrt(u))/(5) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int (1)/(sqrt(5 s + 4)) d s = (2 sqrt(5 s + 4))/(5) + C

Resposta

(2 sqrt(5 s + 4))/(5) + C

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