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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 26

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = 3 t + 2 y = t - 1   ,   t ∈ [ 0 , 2 ]

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 0     e     t 1 = 2 .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = 3

y ' = 1

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 2 3 2 + ( 1 ) 2 d t = ∫ 0 2 9 + 1   d t = ∫ 0 2 10   d t

= 10   t   | 2 0

Passo 3

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = 10 . 2 - 10 . 0 =   2 10   u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 2 10   u . c .

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