Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 22

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = t 3 y = t 2   ,   1 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 1     e     t 1 = 3 .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = 3 t 2

y ' = 2 t

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 1 3 3 t 2 2 + 2 t 2 d t = ∫ 1 3 9 t 4 + 4 t 2 d t = ∫ 1 3 t 2 9 t 2 + 4 d t = ∫ 1 3 t 9 t 2 + 4   d t

Passo 3

Fazendo substituição: u = 9 t 2 + 4 ⇒ d u = 18 t   d t ⇒ d u 18 t = d t

⇒ ∫ 1 3 t 18 t u   d u = 1 18 ∫ 1 3 u 1 2   d u = 1 18 . u 3 2 3 2   | 1 3 = 1 27 9 t 2 + 4 3 2 | 1 3

Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 4

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = 1 27 9 3 2 + 4 - 9 1 2 + 4 3 2 = 1 27 8 5 85 - 13 13   u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 1 27 85 85 - 13 13   u . c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 23 a 26, use a regra de Simpson com n = 8 para aproximar até quatro casas decimais o comprimento de arco. (25) O arco da curva y = x 3 3 , da origem ao ponto ( 1 , 1 3 ) .
Se f x = ∫ 0 x s e n ( t )d t , ache o comprimento do arco do gráfico de f do ponto x = 0 ao ponto x = π 2 .
Nos Exercícios de 1 a 4, uma partícula se move aobre uma reta horizontal. Ache a força exercida na partícula se ela tiver a massa e a aceleração dadas (1) A massa é de 50g ; a aceleração é de 5c m / s
Nos Exercícios de 5 a 8, uma partícula está sujeita à força horizontal dada e a massa ou aceleração da partícula é dada. Ache a outra quantidade. (6) A força é de 32d i n a s ; a massa é de 8g .
Nos Exercícios de 9 a 12, é dado um sistema de partículas sobre o eixo x . O níumero de quilogramas na massa de cada partícula e a coordenada de sua posição são dados. A distância é medida em metros.