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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 29

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = 2 cos ⁡ t + 2 t   s e n   t y = 2 s e n   t - 2 t cos ⁡ t   ,   0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 0     e     t 1 = π 2 .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = - 2 s e n   t + 2 s e n   t + 2 t cos ⁡ t = 2 t cos ⁡ t

y ' = 2 cos ⁡ t - 2 cos ⁡ t + 2 t   s e n   t = 2 t   s e n   t

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 π / 2 2 t cos ⁡ t 2 + 2 t   s e n   t 2 d t = ∫ 0 π / 2 4 t 2 cos 2 ⁡ t + 4 t 2 s e n 2 t   d t =

= ∫ 0 π / 2 4 t 2 ( cos 2 ⁡ t + s e n 2 t )   d t = ∫ 0 π / 2 2 t   d t = 2 . t 2 2 | π / 2 0 = t 2 π / 2 0

Passo 3

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = π 2 4 - 0 2 = π 2 4     u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = π 2 4     u . c .

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