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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 25

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = t   s e n   t y = t cos ⁡ t   ,   t ∈ [ 0 , π ]

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 0     e     t 1 = π .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = 1 . s e n   t + t . cos ⁡ t

y ' = 1 . cos ⁡ t - t . s e n   t

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 π s e n   t + t cos ⁡ t 2 + cos ⁡ t - t s e n   t 2 d t =

∫ 0 π sen 2 ⁡ t + 2 t s e n   t   c o s t + t 2 cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t - 2 t   s e n   t cos ⁡ t + t 2 s e n 2 t   d t =

= ∫ 0 π s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + t 2 ( cos 2 ⁡ t + s e n 2 t ) d t = ∫ 0 π 1 + t 2 d t =

= t 2 1 + t 2 + 1 2 ln ⁡ t + 1 + t 2 π 0

Passo 3

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = π 2 1 + π 2 + 1 2 ln ⁡ π + 1 + π 2   u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = π 2 1 + π 2 + 1 2 ln ⁡ π + 1 + π 2   u . c .

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Nos exercícios de 23 a 26, use a regra de Simpson com n = 8 para aproximar até quatro casas decimais o comprimento de arco. (25) O arco da curva y = x 3 3 , da origem ao ponto ( 1 , 1 3 ) .
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Nos Exercícios de 5 a 8, uma partícula está sujeita à força horizontal dada e a massa ou aceleração da partícula é dada. Ache a outra quantidade. (6) A força é de 32d i n a s ; a massa é de 8g .