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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 23

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = 2 ( t - s e n   t ) y = 2 ( 1 - cos ⁡ t )   ,   t ∈ [ 0 , π ]

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 0     e     t 1 = π .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = 2 ( 1 - cos ⁡ t )

y ' = 2 ( s e n   t )

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 π 2 ( 1 - cos ⁡ t ) 2 + 2 s e n   t 2 d t = ∫ 0 π 4 ( 1 - cos ⁡ t ) 2   + 4 s e n 2 t   d t =

= ∫ 0 π 4 ( 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t + s e n 2 t ) d t = ∫ 0 π 4 ( 2 - 2 cos ⁡ t ) d t = ∫ 0 π 2 2 - 2 cos ⁡ t d t =

= ∫ 0 π 2 2   1 - cos ⁡ t   d t = 2 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 t 2   d t = 2 2 ∫ 0 π 2   s e n t 2   d t = 4 ∫ 0 π s e n t 2 d t =    

=   4 ( - 2 cos ⁡ t 2 )   | 0 π

Passo 3

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = - 8 cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0   = - 8   0 - 1 = 8   u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 8   u . c

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