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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 27

Calcule o comprimento de arco da curva dada na forma paramétrica.

x = 1 3 t 3 y = 1 2 t 2   ,   0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Por definição, o comprimento de arco para funções parametrizadas é dado pela seguinte integral:

s =   ∫ t 0 t 1 x ' t 2 + y ' t 2   d t

Assim, nossos limites de integração pelo enunciado são: t 0 = 0     e     t 1 = 2 .

As derivadas das nossas funções são dadas por:

x ' = 1 3 . 3   t 2 = t 2

y ' = 1 2 . 2   t = t

Passo 2

Aplicando os valores na integral, temos que:

s = ∫ 0 2 t 2 2 + t 2 d t = ∫ 0 2 t 4 + t 2   d t = ∫ 0 2 t 2 t 2 + 1   d t =

= ∫ 0 2 t   t 2 + 1   d t

Passo 3

Fazendo substituição: u = t 2 + 1 ⇒ d u = 2 t   d t ⇒ d u 2 t = d t

⇒ ∫ 0 2 t 2 t u   d u = 1 2 ∫ 0 2 u 1 2   d u = 1 2 . u 3 2 3 2   2 0 = 1 3 t 2 + 1 3 2 2 0  

Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

Passo 4

Aplicando os limites de integração, obtemos:

⇒ s = 1 3 2 2 + 1 - 0 2 + 1 3 2 = 1 3 5 3 2 - 1 = 1 3 ( 5 5 - 1 )     u . c .

Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração (   a   e   b ) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

s = 1 3 ( 5 5 - 1 )     u . c .

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