a ) Determine uma curva que passa pelo ponto 0 , 1 , cuja integral do comprimento seja L = ∫ 1 2 1 + 1 y 4 d y b ) Quantas curvas desse tipo existem? Justifique sua resposta.

Curva 1 f y = - y - 1 + 1 Indo de 0,1 até 1 2 , 2 Curva 2 f y = y - 1 - 1 Indo de 0,1 até - 1 2 , 2

Enunciado

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de , a fórmula vai ser:

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, que ele deu no enunciado, e a derivada, em , da , que é a função do enunciado.

Comparando com a fórmula que ele deu no enunciado:

Vamos ter:

Dessa forma:

Tirando a raiz:

Teremos duas possibilidades para a derivada:

Para acharmos a , temos uqe integral cada uma dessas possibilidades

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

Logo

Usando o ponto inicial que ele deu, , para achar , vamos ter:

Logo uma das funções é

Sabemos o inicio dela, que é em , falta ver o final, que é quando . Tiramos isso pelo limite de integração:

Então é a curva de equação

Indo de até

Agora, vamos ver a integral indefinida da outra possibilidade:

Logo

Usando o ponto inicial que ele deu, , para achar , vamos ter:

Logo uma das funções é

Sabemos o inicio dela, que é em , falta ver o final, que é quando . Tiramos isso pelo limite de integração:

Então é a curva de equação

Indo de até

Encontramos duas curvas

Curva 1

Indo de até

Curva 2

Indo de até