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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 19

a ) Determine uma curva que passa pelo ponto 1,1 , cuja integral do comprimento seja

L = ∫ 1 4 1 + 1 4 x d x

b ) Quantas curvas desse tipo existem? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de x , a fórmula vai ser:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Comparando com a fórmula que ele deu no enunciado:

L = ∫ 1 4 1 + 1 4 x d x

Vamos ter:

1 + f ' x 2 = 1 + 1 4 x

Dessa forma:

f ' x 2 = 1 4 x

Tirando a raiz:

f ' x = ± 1 2 x

Teremos duas possibilidades para a derivada:

f ' x = 1 2 x

E

f ' x = - 1 2 x

Para acharmos a f x , temos uqe integral cada uma dessas possibilidades

Passo 2

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

f x = ∫ 1 2 x d x

Escrevendo aquela raiz como potência:

x = x 1 2

A integral vai ficar:

∫ 1 2 x d x = ∫ x - 1 2 2 d x = x 1 2 2 1 2 + C = x 1 2 + C

Logo

f x = x 1 2 + C

Passo 3

Usando o ponto inicial que ele deu, 1,1 , para achar C , vamos ter:

f 1 = 1 1 2 + C

1 = 1 + C

C = 0

Logo uma das funções é

f x = x 1 2

Sabemos o inicio dela, que é em 1,1 , falta ver o final, que é quando x = 4 . Tiramos isso pelo limite de integração:

f 4 = 4 1 2 = 4 = 2

Então é a curva de equação

f x = x 1 2

Indo de 1,1 até 4,2

Passo 4

Agora, vamos ver a integral indefinida da outra possibilidade:

f x = ∫ - 1 2 x d x

Escrevendo aquela raiz como potência:

x = x 1 2

A integral vai ficar:

∫ - 1 2 x d x = - ∫ x - 1 2 2 d x = - x 1 2 2 1 2 + C = - x 1 2 + C

Logo

f x = - x 1 2 + C

Passo 5

Usando o ponto inicial que ele deu, 1,1 , para achar C , vamos ter:

f 1 = - 1 1 2 + C

1 = - 1 + C

C = 2

Logo uma das funções é

f x = - x 1 2 + 2

Sabemos o inicio dela, que é em 1,1 , falta ver o final, que é quando x = 4 . Tiramos isso pelo limite de integração:

f 4 = - 4 1 2 + 2 = - 4 + 2 = - 2 + 2 = 0

Então é a curva de equação

f x = - x 1 2 + 2

Indo de 1,1 até 4 , 0

Passo 6

Encontramos duas curvas

Resposta

Curva 1

f x = x 1 2

Indo de 1,1 até 4,2

Curva 2

f x = - x 1 2 + 2

Indo de 1,1 até 4,0

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