Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 52
Encontre a distância percorrida por uma partícula com posição quando varia em um dado intervalo de tempo. Compare com o comprimento da curva.
52.
Passo 1
Oii, tudo certinho?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:
Nessa questão, precisamos encontrar a distância percorrida por uma partícula no intervalo e o comprimento da curva percorrida por ela.
Mas qual a diferença entre as duas coisas?
Bom, a curva completa é percorrida quando vai de a , pois a partir desse valor estaremos percorrendo ela novamente.
Já a distância percorrida pela partícula se da quando vai de a , então nossa distância será vezes o comprimento da curva.
Para calcular isso, sabemos que o comprimento de uma curva é:
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 2
Então, fazendo as derivadas, temos:
E
Assim, substituindo esses valores na integral e aplicando o intervalo dado no enunciado, obtemos:
Agora bora resolver!! 😉
Passo 3
Elevando os termos ao quadrado, temos:
Colocando o em evidência:
Retirando o seno da raiz:
Passo 4
Vamos usar duas substituições para conseguir resolver essa integral. Primeiro, vamos fazer:
Logo, temos:
Passo 5
Agora, vamos trocar:
Passo 6
Voltando à nossa substituição:
Agora vamos trocar esses valores e calcular o valor dentro dos limites de .
Passo 7
Esse trabalho todo foi para encontrarmos o comprimento da curva, ainda falta a distância percorrida, mas calma que agora é rapidinho.
Vimos no início da questão que a distância percorrida é igual a vezes o comprimento da curva, portanto, basta pegarmos e multiplicarmos por .
Assim, descobrimos que a distância percorrida foi de .
Resposta