Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9a
Seja uma curva derivável até a 2ª ordem, com no intervalo . Seja , com fixo em . Sejam, ainda, o versor de e dada por , onde . Mostre que
Passo 1
O enunciado fornece uma expressão para o versor (que nada mais é que um vetor que é função do ) e pede para acharmos a devirada de em relação a , comparando com o valor dado.
Este problema não tem segredo! Basta aplicar o que já sabemos de derivada com muita calma nessa hora e uma dessas o resultado sairá!
Passo 2
Vamos escrever abaixo a definição do :
Agora, como eu falei ô, vamos só aplicar a derivada e usar a regra do quociente:
Tranquilo né? Agora, malandros que somos, vamos multiplicar encima e embaixo por para ficar mais parecido com a cara do que queremos mostrar:
Já tá ficando bem parecido! Realmente, a parte mais tosca desta expressão é o produto ... o que será que é isso??
Lembremos que, por definição . Ooook, então, baseados nisto, quanto será que vale ? Vamos calcular:
Agora ficou mais simples! Se você sabe a derivada de você tira essa fácil!
Mas quanto será que vale a derivada de um produto escalar? Podemos utilizar a regra do produto para derivadas normalzão. Resposta: sim, podemos!!
Show de bola. Será que substituindo isto na já basta para fechar a pau? Vê lá:
Igualzinho enunciado né? Fechô partiu!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)