Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 7
Seja , com derivada contínua, e tal que em . Seja dada por .
a) Verifique que a função é inversível e seja sua inversa.
b) Verifique que a curva ( é o comprimento de ) dada por está parametrizada pelo comprimento de arco. Dizemos que é a reparametrização de pelo comprimento de arco.
Passo 1
Nesta questão, é pedido para calcular a função inversa do comprimento de arco. Mas o que que é isto?
Bem, por definição, nada mais é do que a largura do barbante entre a marcação e a marcação .
Podemos saber a largura do barbante com base na diferença das marcações e . Ou, também, podemos saber a marcação a partir de e da largura do barbante. Esta última opção é nada menos que uma função inversa , que vemos descobrir já já.
Passo 2
Como obter a inversa a partir de ? Olha, você é capaz de perceber que, se tomarmos obteremos a ? Ótimo! Deduzimos que
Agora, vamos aplicar a função nos dois lados dessa equação, obtendo:
É muito parêntese, mas dá pra entender legal, não é? Pois bem, agora vamos DERIVAR esta última equação em relação a
Chegamos a algum lugar mesmo? Pareceria que não, mas, usando a regra da cadeia no lado esquerdo da equação obtemos
Agora, usamos o fato de que , o que nos permite dividir ambos os lados da equação por este valor, obtendo
Limpando algumas coisas pra deixar a expressão mais bonitinha, concluímos que
Ou seja, embora já saibamos disso intuitivamente, realmente existe uma função inversa de , e temos inclusive uma fórmula para ela!
Passo 3
No item b), devemos mostrar que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Como fazer isso? Bem, de um exercício anterior, sabemos que está paremetrizada pelo comprimento de arco quando se tem . Vamos provar esta última expressão então, através de uns tantos algebrismos.
Passo 4
Vamos partir do que já sabemos:
Derivando com a regra da cadeia, obtemos
Agora, substituindo o resultado para que acabamos de obter no item anterior, ficamos com
Mas, por definição
Ou, derivando esta expressão,
Ou seja,
Portanto,
Como queríamos provar!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)