Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 8d
Reparametrize pelo comprimento de arco a curva de dada por:
Passo 1
O enunciado pede para reparametrizarmos pelo comprimento de arco. Isto, é, partindo da equação de em função de , devemos obter uma expressõa para em função do seu próprio comprimento !
Passo 2
Perceba, não podemos nem falar em começar a fazer nada se não conhecermos primeiro o comprimento de , ou seja , dado por:
Necessitamos resolver esta integral, o que dará trabalho! Mas não tem segredo algum, uma vez que temos . Assim, é só calcular bastante:
Dai,
Trabalhando, finalmente obteremos
Ou seja,
Pra não se perder nesses cálculos só sendo ninja mesmo.
Passo 3
Agora que finalmente temos em mãos, devemos INVERTER para achar .
Neste caso, não há grandes dificuldades, só trabalhar um pouquinho em cima da equação de que você obterá:
Passo 4
Em posse de , para sepultar a questão, faltaria apenas substituir esse valor na expressão para , ou seja:
Substituindo e simplificando ou pouquinho, o resultado final surge.