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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.9 - Ex. 18

Se o sólido do Exercício 17(a) tiver densidade constante k , encontre seu momento de inércia em relação ao eixo z .

Sólido delimitado pelo elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Transformação: x = a u   ,     y = b v   ,     z = c w

Passo 1

Fala, galera!

Olha só, a questão nos pede pra encontrar o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido do exercício anterior, se ela tiver a densidade constante k . Vamos analisar tudo com calma, show?

Pessoal, lembre-se que a integral que dá o momento de inércia em relação ao eixo z é:

I z = ∭ E   x 2 + y 2   ρ x ,   y ,   z   d V

Sabemos que a densidade é essa daqui:

ρ x ,   y ,   z = k

E, na questão anterior, temos essas informações aqui:

Sólido delimitado pelo elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Transformação: x = a u   ,     y = b v   ,     z = c w

Se temos que fazer aquelas transformações, então a equação do elipsoide poderá ficar assim, olha só:

a u 2 a 2 + b v 2 b 2 + c w 2 c 2 = 1

u 2 + v 2 + w 2 = 1

Belê?? 😊

Passo 2

Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação para podermos colocar todas as informações na nossa nova integral. Compo estamos trabalhando com a ,   b ,   c , então:

∂ x ,   y ,   z ∂ u ,   v ,   w = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w = a 0 0 0 b 0 0 0 c = a b c

Então, podemos reescrever a integral assim:

I z = ∭ E   x 2 + y 2   ρ x ,   y ,   z   d V

I z = ∭ E   x 2 + y 2   k d V

Como sabemos a transformação de x e y , então colocamos tudo o que temos, inclusive o jacobiano:

I z = ∭ u 2 + v 2 + w 2 ≤ 1   k a 2 u 2 + b 2 v 2   a b c   d u   d v   d w

Passo 3

Podemos resolver a integral mais facilmente se passarmos para coordenadas esférica. Por isso, temos algumas informações sobre essa mudança:

u = ρ   s e n   ϕ cos ⁡ θ

      v = ρ   s e n   ϕ   s e n   θ

      w = ρ cos ⁡ ϕ

d V = ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Sobre os limites de integração, temos, através do que temos no passo 1:

0 < ρ < 1

0 < ϕ < π

0 < θ < 2 π

Portanto, chegaremos a

I z = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 k   a b c   a 2 ρ 2   s e n 2   ϕ cos 2 ⁡ θ + b 2 ρ 2   s e n 2   ϕ   s e n 2   θ ρ 2   s e n   ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Podemos jogar alguns termos para fora da integral como constantes, e reorganizar a integral em várias partes com seus respectivos integrandos:

k   a b c ∫ 0 2 π a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2   s e n 2   θ d θ ∫ 0 π s e n 3   ϕ   d ϕ ∫ 0 1 ρ 4 d ρ

Resolvendo cada um deles, ficaremos com

k   a b c   a 2 θ 2 + a 2   s e n 2 θ 4 + b 2 θ 2 - b 2   s e n 2 θ 4 0 2 π - cos ⁡ ϕ + cos 3 ⁡ ϕ 3 0 π ρ 5 5 0 1

Colocando os limites de Integración, chegaremos a

k   a b c   a 2 π + b 2 π 4 3 1 5

4 k 15 a b c a 2 + b 2 π

Moleza, né? 😉

Resposta

4 k 15 a b c a 2 + b 2 π

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