Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 5

Sejam γ : a , b → R n e δ : c , d → R n duas curvas com derivadas contínuas. Suponha que exista g : c , d → a , b , com derivada contínua e tal que g ' u > 0 em c , d . Suponha, ainda, g c = a ,   g d = b e, para todo u ∈ c , d , δ u = γ g u . Prove:

  1. I m   γ = I m   δ
  2. L γ = L δ

Passo 1

  1. Temos que γ : a , b → R n e que g : c , d → a , b , então podemos afirmar que γ g u , com u ∈ c , d abrange toda a curva γ , ou seja, toda a imagem da função γ .

    2. Como temos a curva δ : c , d → R n e como u ∈ c , d , δ ( u ) abrange toda a imagem de δ . Já que estamos assumindo que δ u = γ g u , podemos afirmar que

    I m   γ = I m   δ

    Para todo u ∈ c , d .

    Passo 2

  2. Como as imagens de γ e δ são iguais e como para todo u ∈ [ c , d ] temos δ u = γ g u , é natural a afirmação de que os comprimentos das duas curvas são iguais, isso porque, para cada d u temos a mesma variação na derivada, garantida pela igualdade e assumindo que os valores iniciais g c = a   e g d = b .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o comprimento do laço da curva x = 3 t - t 3 ,y = 3 t 2 .
Use a Regra de Simpson com n = 6 para estimar o comprimento da curva x = t - e t , y = t + e t , - 6 ≤ t ≤ 6 .
Mostre que o comprimento total da elipse x = as e n θ ,y = bc o sθ ,ab0 , é L = 4 a∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 θd θ onde e é a excentricidade da elipse ( e = c a , com c = a 2 - b 2 )
Calcule o comprimento total da astroide x = acos 3 ⁡ θ ,y = s e n 3 θ com a0 .
Trace a curva e calcule seu comprimento.46. x = e t - t , y = 4 e t 2 , - 8 ≤ t ≤ 3