Sejam e duas curvas com derivadas contínuas. Suponha que exista , com derivada contínua e tal que em . Suponha, ainda, e, para todo , . Prove:
Passo 1
- Temos que e que , então podemos afirmar que , com abrange toda a curva , ou seja, toda a imagem da função
- Como as imagens de e são iguais e como para todo temos , é natural a afirmação de que os comprimentos das duas curvas são iguais, isso porque, para cada temos a mesma variação na derivada, garantida pela igualdade e assumindo que os valores iniciais e .
Como temos a curva e como , abrange toda a imagem de . Já que estamos assumindo que , podemos afirmar que
Para todo .
Passo 2
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)