Sejam e duas curvas com derivadas contínuas. Suponha que exista , com derivada contínua e tal que em . Suponha, ainda, e, para todo , . Prove:
Passo 1
- Temos que e que , então podemos afirmar que , com abrange toda a curva , ou seja, toda a imagem da função
- Como as imagens de e são iguais e como para todo temos , é natural a afirmação de que os comprimentos das duas curvas são iguais, isso porque, para cada temos a mesma variação na derivada, garantida pela igualdade e assumindo que os valores iniciais e .
Como temos a curva e como , abrange toda a imagem de . Já que estamos assumindo que , podemos afirmar que
Para todo .
Passo 2
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Ache o comprimento do laço da curva x = 3 t - t 3 ,y = 3 t 2 .
No exercício 43 , na Seção 10.1 , foi pedido que você deduzisse as equações paramétricas x = 2 ac o t gθ , y = 2 a sin 2 θ para a curva chamada bruxa de Maria Agnesi. Use a Regra de Simpson com n =
Mostre que o comprimento total da elipse x = as e n θ ,y = bc o sθ ,ab0 , é L = 4 a∫ 0 π / 2 1 - e 2 s e n 2 θd θ onde e é a excentricidade da elipse ( e = c a , com c = a 2 - b 2 )
Calcule o comprimento total da astroide x = acos 3 θ ,y = s e n 3 θ com a0 .
Trace a curva e calcule seu comprimento.46. x = e t - t , y = 4 e t 2 , - 8 ≤ t ≤ 3