Enunciado

Dê exemplos de curvas γ e δ tais que I m   γ = I m   δ , mas que seus comprimentos sejam diferentes.

Passo 1

Em geral esse comportamento acontece quando temos curvas cíclicas em intervalos diferentes.

Por exemplo a curva r t = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t ) , que é a circunferência unitária, se pegarmos um intervalo I 1 = 0,2 π , que é o intervalo para a curva r 1 = cos ⁡ t , sen ⁡ t e pegarmos o intervalo I 2 = 0,4 π para a curva r 2 t = ( cos ⁡ t , sen ⁡ t ) , para o intervalo 2 π , 4 π a imagem da função é igual à imagem de 0,2 π , ou seja, a curva da duas voltas na circunferência fazendo com que o comprimento seja o dobro, apesar do conjunto imagem ser idêntico.

A derivada das curvas é dada por r ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t e a norma deste vetor

r ' t = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Então temos

L 1 = ∫ I 1 r 1 ' t   d t = ∫ 0 2 π d t = 2 π

L 2 = ∫ I 2 r 2 ' t   d t = ∫ 0 4 π d t = 4 π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule o comprimento exato da curva polar r = θ 0 ≤ θ ≤ 2 π
Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule seu comprimento r = cos 2 ⁡ θ 2
Trace a curva com uma ferramenta gráfica e calcule seu comprimento r = cos 4 ⁡ θ 4
Calcule o comprimento exato da curva polar r = θ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π
Use a Regra de Simpson com n = 6 para estimar o comprimento da curva x = t - e t , y = t + e t , - 6 ≤ t ≤ 6 .