Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 10

Calcule a curvatura e o raio de curvatura da curva γ t = R cos ⁡ t , R sin ⁡ t ( R > 0 fixo).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura k s e o raio de curvatura ρ s para uma curva dada γ = R cos ⁡ t , R sin ⁡ t .

Note que podemos economizar um esforço danado se aproveitarmos os resultados da questão anterior! Basta só substituir γ na fórmula geral para k s e o resultado sairá diretamente.

De fato, vamos invocar a definição de k s :

k s = 1 γ ' t 3 γ ' ' t 2 γ ' t 2 - γ ' ' t ∙ γ ' t 2

Embora seja um a expressão toda complicada, o procedimento de cálculo da curvatura realmente não tem segredo. Basta pegar a curva dada, derivar e bla bla bla até substituir tudo na definição de k s .

Passo 2

Com calma, vamos pegar γ = R cos ⁡ t , R sin ⁡ t e a seguir calcular tudo o que precisamos ter para substituir na fórmula do k s .

Vamos começar com todas as derivadas! Primeiramente, temos

γ ' = - R sin ⁡ t , R cos ⁡ t

E também

γ ' ' = - R cos ⁡ t , - R sin ⁡ t = - γ

Derivada tá ok então.

Passo 3

Agora vamos calcular os produtos escalares relevantes pro problema, iniciando com:

γ ' ' t ∙ γ ' t = - R sin ⁡ t , R cos ⁡ t ∙ - R cos ⁡ t , - R sin ⁡ t = R 2 sin ⁡ t cos ⁡ t - R 2 sin ⁡ t cos ⁡ t = 0

Boa! Vamo com entusiasmo:

γ ' t = γ ' t ∙ γ ' t = - R sin ⁡ t , R cos ⁡ t ∙ - R sin ⁡ t , R cos ⁡ t = R 2 sin 2 ⁡ t + R 2 cos 2 ⁡ t = R

Foda! Só mais um:

γ ' ' t = γ ' ' t ∙ γ ' ' t = - R cos ⁡ t , - R sin ⁡ t ∙ - R cos ⁡ t , - R sin ⁡ t = R 2 sin 2 ⁡ t + R 2 cos 2 ⁡ t = R

Passo 4

No mais, vamos substituir tudo o que obtivemos na danada da expressão:

k s = 1 R 3 R 2 R 2 - 0 2 = R

A curvatura é simplesmente igual ao raio! Joia!

A fórmula para o raio de curvatura é bem mais simples:

ρ s = 1 k s = 1 R

Resposta

k s = R

ρ s = 1 R

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O planeta Plutão percorre uma órbita elíptica ao redor do Sol (em um foco). O comprimento do eixo maior é 1,18.10 10k m , e o comprimento do eixo menor é 1,14.10 10k m . Use a Regra de Simpson com n =
Usando os dados do Exercício 29 , calcule a distância percorrida pelo planeta Mercúrio durante uma órbita completa ao redor do Sol. (Se sua calculadora ou sistema de computação algébrica calcular inte
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir use uma calculadora pra encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais. x = ln ⁡ t , y = t + 1, 1 ≤ t ≤ 5
Qual é a função de comprimento de arco para uma curva parametrizada suave? Qual é a diferencial de comprimento de arco?
Sob quais condições você pode encontrar a área da superfície gerada por meio do giro de uma curva x=f t ,y=g t ,a ≤ t ≤ b em torno do eixo x ? E do eixo y ? Dê exemplos.