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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 44

Calcule o comprimento da curva

x = e^t + e^(- t) , y = 5 - 2 t , 0 <= t <= 3

Passo 1

O problema fornece a curva parametrizada

x = e^t + e^(- t) , y = 5 - 2 t , 0 <= t <= 3

e quer que encontremos o seu comprimento. Para isso, você precisa usar a expressão explicada no livro:

L = int_(alpha)^(beta) sqrt(((d y)/(d t))^2 + ((d x)/(d t))^2) d t

Assim,

(d y)/(d t) = e^t - e^(- t)

(d x)/(d t) = - 2

Logo,

((d y)/(d t))^2 + ((d x)/(d t))^2 = (e^t - e^(- t))^2 + 4 = e^(2 t) - 2 + e^(- 2 t) + 4 = e^(2 t) + 2 + e^(- 2 t) = (e^t + e^(- t))^2

Passo 2

Com isso, podemos achar o comprimento de arco:

L = int_0^3 sqrt((e^t + e^(- t))^2) d t = int_0^3 (e^t + e^(- t)) d t

Calculando a integral:

L = (e^t - e^(- t))_0^3

Logo,

L = e^3 - e^(- 3) - 1 + 1

Portanto,

L = e^3 - (1)/(e^3)

Resposta

L = e^3 - (1)/(e^3)

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