Determine o comprimento da astróide (exercício 8 , seção 1.2 ) quando o parâmetro varia no intervalo [0, pi/2] .

Passo 1

Bora lá galera. Pra começar, vou trazer de volta a equação paramétrica da astróide.

σ θ = a cos 3 ⁡ θ ,   a sen 3 ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ π / 2

Ok, mas e qual vai ser o comprimento dessa coisa linda? Mole, fórmulinha:

L C = ∫ 0 π / 2 σ ' θ d θ

Então a primeira coisa é achar σ ' θ . Pra isso, derivamos primeiro:

σ ' θ = - 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ ,   3 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

E com isso, podemos calcular a norma:

σ ' θ = - 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ 2 + 3 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ 2

σ ' θ = 3 2 a 2 cos 4 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 3 2 a 2 sen 4 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

σ ' θ = 3 2 a 2 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

σ ' θ = 3 2 a 2 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ 1

σ ' θ = 3 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 = 3 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 2

Agora a gente integra:

L C = ∫ 0 π / 2 3 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Essa integral fica mole de resolver se lembrarmos que:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Manipulando isso:

sen ⁡ 2 θ 2 = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

3 sen ⁡ 2 θ 2 = 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

3 a sen ⁡ 2 θ 2 = 3 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E a integral fica:

L C = ∫ 0 π / 2 3 a sen ⁡ 2 θ 2 d θ = 3 a 2 ∫ 0 π / 2 sen ⁡ 2 θ d θ

Fazendo a substituição simples:

L C = - 3 a 2 ⋅ cos ⁡ 2 θ 2 0 π / 2

L C = 3 a 4 - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0

L C = 3 a 4 1 + 1 = 3 a 2

Resposta

L C = 3 a 2       u . c .

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