Determine o comprimento da astróide (exercício , seção ) quando o parâmetro varia no intervalo .
Passo 1
Bora lá galera. Pra começar, vou trazer de volta a equação paramétrica da astróide.
Ok, mas e qual vai ser o comprimento dessa coisa linda? Mole, fórmulinha:
Então a primeira coisa é achar . Pra isso, derivamos primeiro:
E com isso, podemos calcular a norma:
Passo 2
Agora a gente integra:
Essa integral fica mole de resolver se lembrarmos que:
Manipulando isso:
E a integral fica:
Fazendo a substituição simples: