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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 1.6 - Ex. 3

Determine o comprimento da astróide (exercício 8 , seção 1.2 ) quando o parâmetro varia no intervalo 0 , π 2 .

Passo 1

Bora lá galera. Pra começar, vou trazer de volta a equação paramétrica da astróide.

σ θ = a cos 3 ⁡ θ ,   a sen 3 ⁡ θ ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Ok, mas e qual vai ser o comprimento dessa coisa linda? Mole, fórmulinha:

L C = ∫ 0 2 π σ ' θ d θ

Então a primeira coisa é achar σ ' θ . Pra isso, derivamos primeiro:

σ ' θ = - 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ ,   3 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

E com isso, podemos calcular a norma:

σ ' θ = - 3 a cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ 2 + 3 a sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ 2

σ ' θ = 3 2 a 2 cos 4 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ + 3 2 a 2 sen 4 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

σ ' θ = 3 2 a 2 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

σ ' θ = 3 2 a 2 cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ 1

σ ' θ = 3 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 = 3 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 2

Agora a gente integra:

L C = ∫ 0 2 π 3 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Essa integral fica mole de resolver se lembrarmos que:

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Manipulando isso:

sen ⁡ 2 θ 2 = sen ⁡ θ cos ⁡ θ

3 sen ⁡ 2 θ 2 = 3 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

3 a sen ⁡ 2 θ 2 = 3 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

E a integral fica:

L C = ∫ 0 2 π 3 a sen ⁡ 2 θ 2 d θ = 3 a 2 ∫ 0 2 π sen ⁡ 2 θ d θ

Fazendo a substituição simples:

u = 2 θ →   u = 2 π → θ = π   u = 0 → θ = 0

L C = 3 a 2 ∫ 0 π sen ⁡ u d u = - 3 a 2 cos ⁡ u u = 0 u = π

L C = - 3 a 2 cos ⁡ π - - 3 a 2 cos ⁡ 0

L C = 3 a 2 - - 3 a 2 = 3 a 2 + 3 a 2 = 3 a

Resposta

L C = 3 a       u . c .

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