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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 42

Calcule o comprimento da curva

x = a   cos ⁡ θ + θ   s e n   θ ,                 y = a   s e n   θ - θ cos ⁡ θ ,               0 ≤ θ ≤ π

Passo 1

Opa!!! Tudo bem?? Bom... o enunciado quer que calculemos o comprimento da seguinte curva parametrizada:

x = a   cos ⁡ θ + θ   s e n   θ

  y = a   s e n   θ - θ cos ⁡ θ

Em que a é uma constante.

Para o intervalo   0 ≤ θ ≤ π .

Para isso, precisamos saber que o comprimento L de uma curva é dado por:

L = ∫ α β d y d θ 2 + d x d θ 2   d θ

Onde α e β são os nossos limites de integração. Nesse caso, perceba que o enunciado já nos deu os limites de integração ao nos dar o intervalo!!

Com isso, resta calcular as derivadas d y d θ e d x d θ para substituir na expressão!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Sabemos da primeira equação, que:

x = a   cos ⁡ θ + θ   s e n   θ

Aplicando a derivada, obtemos:

d x d θ = d d θ a   cos ⁡ θ + θ   s e n   θ

Colocando a constante para fora e aplicando a derivada da soma:

d x d θ = a d d θ cos ⁡ θ + d d θ θ   s e n   θ

Aplicando a derivada do seno para a primeira derivada e resolvendo a segunda derivada pela Regra do Produto, obtemos:

d x d θ = a - s e n   θ + θ ⋅ d d θ s e n   θ + d d θ θ ⋅ s e n   θ ∴

d x d θ = a - s e n   θ + θ ⋅ cos ⁡ θ + 1 ⋅ s e n   θ ∴

d x d θ = a   θ   s e n   θ

Agora vamos derivar y !!

Passo 3

Sabemos da primeira equação, que:

  y = a   s e n   θ - θ cos ⁡ θ

Aplicando a derivada, obtemos:

d y d θ = d d θ a   s e n   θ - θ cos ⁡ θ

Colocando a constante para fora e aplicando a derivada da subtração:

d y d θ = a d d θ s e n   θ - d d θ θ cos ⁡ θ

Aplicando a derivada do seno para a primeira derivada e resolvendo a segunda derivada pela Regra do Produto, obtemos:

d y d θ = a - cos ⁡ θ - θ d d θ cos ⁡ θ + d d θ θ ⋅ cos ⁡ θ ∴

d y d θ = a   - s e n   θ + s e n   θ + θ cos ⁡ θ ∴

d y d θ = a   θ cos ⁡ θ

Passo 4

Com isso, substituindo as derivadas que calculamos na expressão do passo 1 e aplicando o intervalo de integração de   0 ≤ θ ≤ π , temos:

L = ∫ α β d y d θ 2 + d x d θ 2   d θ ∴

L = ∫ 0 π a ⋅ θ ⋅ s e n   θ 2 + a ⋅ θ ⋅ cos ⁡ θ 2   d θ

Simplificando a expressão, obtemos:

L = ∫ 0 π a 2 θ 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ   d θ

Sabemos que cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 , portanto:

L = ∫ 0 π a 2 θ 2   d θ

Podemos cimplificar a raiz com os termos que estão elevado ao quadrado:

L = ∫ 0 π a θ   d θ

Resolvendo a integral e aplicando os limites de integração, temos:

L = a θ 2 2 0 π ∴

L = a π 2 2

Resposta

L = a π 2 2

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