Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o exercício 2)
Passo 1
No exercício 2, o livro pede pra provarmos que se tivermos uma curva dada em coordenadas polares por .
Supondo que tenha derivada contínua. Podemos dizer que:
Assim, vamos usar essa relação pra calcular o comprimento da curva acima:
Passo 2
Calculando:
Vamos ter aqui uma substituição trigonométrica, tal que o cateto adjacente será , o cateto oposto será e a hipotenusa será , assim, temos que:
, assim:
Podemos usar, nesse caso, a substituição por partes, vai ficar assim:
Vamos calcular
Voltando:
Vamos agora achar
Se fizermos que , assim:
Voltando para :
Vamos agora voltar pra variável :
Passo 3
Vamos agora voltar pra variável :
Resposta
Vamos agora voltar pra variável :
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Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:r → s = (s / raiz(7), raiz(6 / 7)s, s ≥ 0)
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:r(s) = ln(s + 1) + (s^3 / 3 + s^2) j(s), s = 0
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:h → s = [2*cos(s), 2*sin(s), s ∈ [0, 2π]]
Escrever a função comprimento de arco de:r(t) = (cos^2(t), sen^2(t)), t ∈ [0, π]
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:r(t) = (cos(2t), sen(2t), 2t)