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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 3a

Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o exercício 2)

a )   ρ = θ ,     θ ∈ 0 , π

Passo 1

No exercício 2, o livro pede pra provarmos que se tivermos γ : α ,   β → R 2 uma curva dada em coordenadas polares por ρ = ρ θ ,   θ ∈ α ,   β .

Supondo que ρ = ρ θ tenha derivada contínua. Podemos dizer que:

L γ = ∫ α β ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

Assim, vamos usar essa relação pra calcular o comprimento da curva acima:

L γ = ∫ 0 π θ 2 + d θ d θ 2 d θ

Passo 2

Calculando:

L γ = ∫ 0 π θ 2 + d \ t h e t a d θ 2 d θ =

= ∫ 0 π θ 2   + 1 d θ

Vamos ter aqui uma substituição trigonométrica, tal que o cateto adjacente será 1 , o cateto oposto será θ e a hipotenusa será θ 2 + 1 , assim, temos que:

θ = tan ⁡ α → d θ = sec 2 ⁡ α d α   e sec ⁡ α = θ 2 + 1 , assim:

∫ sec ⁡ α sec 2 ⁡ α d α

Podemos usar, nesse caso, a substituição por partes, vai ficar assim:

u = sec ⁡ α → d u = sec ⁡ α tan ⁡ α d α   e   v = tan ⁡ α → d v = sec 2 ⁡ α d α

∫ sec ⁡ α sec 2 ⁡ α d α = u v - ∫ v d u = sec ⁡ α tan ⁡ α - ∫ tan ⁡ α sec ⁡ α tan ⁡ α d α

= sec ⁡ α tan ⁡ α - ∫ sec ⁡ α tan 2 ⁡ α d α

Vamos calcular ∫ sec ⁡ α tan 2 ⁡ α d α

∫ sec ⁡ α tan 2 ⁡ α d α = ∫ sec ⁡ α sec 2 ⁡ α - 1 ⁡ α d α = ∫ sec 3 ⁡ α d α - ∫ sec ⁡ α d α

Voltando:

∫ sec ⁡ α sec 2 ⁡ α d α = sec ⁡ α tan ⁡ α - ∫ sec 3 ⁡ α d α - ∫ sec ⁡ α d α

∫ sec ⁡ α sec 2 ⁡ α d α = 1 2 sec ⁡ α tan ⁡ α - ∫ sec ⁡ α d α

Vamos agora achar ∫ sec ⁡ α d α

∫ sec ⁡ α sec ⁡ α + tan ⁡ α sec ⁡ α + tan ⁡ α   d α = ∫ sec 2 ⁡ α + sec ⁡ α tan ⁡ α sec ⁡ α + tan ⁡ α   d α

Se fizermos que z = sec ⁡ α + tan ⁡ α → d z = sec 2 ⁡ α + sec ⁡ α tan ⁡ α d α , assim:

∫ sec 2 ⁡ α + sec ⁡ α tan ⁡ α sec ⁡ α + tan ⁡ α   d α = ∫ 1 z   d z = ln ⁡ z = ln ⁡ sec ⁡ α + tan ⁡ α

Voltando para ∫ sec ⁡ α sec 2 ⁡ α d α :

∫ sec ⁡ α sec 2 ⁡ α d α = 1 2 sec ⁡ α tan ⁡ α - ln ⁡ sec ⁡ α + tan ⁡ α

Vamos agora voltar pra variável θ :

1 2 sec ⁡ α tan ⁡ α - ln ⁡ sec ⁡ α + tan ⁡ α = 1 2 θ θ 2 + 1 - ln ⁡ θ 2 + 1 + θ π 0 =

1 2 π π 2 + 1 - ln ⁡ π 2 + 1 + π

Passo 3

Vamos agora voltar pra variável θ :

1 2 sec ⁡ α tan ⁡ α - ln ⁡ sec ⁡ α + tan ⁡ α = 1 2 θ θ 2 + 1 - ln ⁡ θ 2 + 1 + θ π 0 =

1 2 π π 2 + 1 - ln ⁡ π 2 + 1 + π

Resposta

Vamos agora voltar pra variável θ :

L γ = 1 2 π π 2 + 1 - ln ⁡ π 2 + 1 + π

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