Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o exercício 2)
Passo 1
No exercício 2, o livro pede pra provarmos que se tivermos uma curva dada em coordenadas polares por .
Supondo que tenha derivada contínua. Podemos dizer que:
Assim, vamos usar essa relação pra calcular o comprimento da curva acima:
Passo 2
Calculando:
Vamos ter aqui uma substituição trigonométrica, tal que o cateto adjacente será , o cateto oposto será e a hipotenusa será , assim, temos que:
, assim:
Podemos usar, nesse caso, a substituição por partes, vai ficar assim:
Vamos calcular
Voltando:
Vamos agora achar
Se fizermos que , assim:
Voltando para :
Vamos agora voltar pra variável :
Passo 3
Vamos agora voltar pra variável :
Resposta
Vamos agora voltar pra variável :