Seja f(x, y) de classe C^2 e seja (x0, y0, z0) ponto no interior Df . Suponha que (x_0, y_0, z_0) ponto crítico de f . Prove: ∂²f / ∂x² (x₀, y₀, z₀) ≥ 0, ∂²f / ∂y² (x₀, y₀, z₀) ≥ 0, ∂²f / ∂z² (x₀, y₀, z₀) ≥ 0 é uma condição necessária para o ponto crítico (x_0, y_0, z_0) ser mínimo local de f . Passo 1Vamos calcular a hessiana, H = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ x ∂ z ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 ∂ 2 f ∂ y ∂ z ∂ 2 f ∂ x ∂ z ∂ 2 f ∂ y ∂ z ∂ 2 f ∂ z 2 ⟹ H = ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ z 2 + ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ 2 f ∂ y ∂ z ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ z + ∂ 2 f ∂ x ∂ z ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ 2 f ∂ y ∂ z - ∂ 2 f ∂ x ∂ z ⋅ ∂ 2 f ∂ y 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ z - ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ 2 f ∂ z 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ y - ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ y ∂ z ⋅ ∂ 2 f ∂ y ∂ z E, H 1 = ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ 2 f ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 f ∂ y 2 - ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ 2 f ∂ x ∂ y Como ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 , z 0 ≥ 0 , ∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 , z 0 ≥ 0 , ∂ 2 f ∂ z 2 x 0 , y 0 , z 0 ≥ 0 . Temos que H > 0 e H 2 > 0 . Portanto, x 0 , y 0 , z 0 é ponto de máximo. RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados14.15. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po14.9. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o pon14.17. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po14.12. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o po14.16. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa para traçar gráficos tridimensionais no computador, utilize-o com a janela de inspeção e o poVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre Funções de Várias VariáveisLista de exercícios de Classificação de Pontos Críticos em Funções de 2 VariáveisVer exercício 2.2 - 1fVer exercício 7.7 - 1d