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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 43

Calcule o comprimento da curva.

x = t sen ⁡ t ,   y = t cos ⁡ t ,   0 ≤ t �� 1

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de equações paramétricas aqui, bora começar! Nessa questão recebemos as equações paramétricas e o intervalo de uma curva e queremos encontrar o comprimento dela.

A fórmula do comprimento de uma curva assim é:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Sendo assim, só precisamos substituir derivar cada componente, substituir os valores das derivadas nessa fórmula e calcular a integral!

(OBS.: Para poder usar essa fórmula as derivadas de x e y precisam ser contínuas e a curva precisa ser percorrida exatamente uma vez no intervalo definido. Para esse caso podemos usar sem problemas :3)

Passo 2

Vamos começar derivando as equações paramétricas.

Derivando x = t sen ⁡ t :

d x d t = t cos ⁡ t + sen ⁡ t

Derivando   y = t cos ⁡ t :

d y d t = - t sen ⁡ t + cos ⁡ t

Agora elevando cada uma ao quadrado:

d x d t 2 = t 2 cos 2 ⁡ t + 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t

d y d t 2 = t 2 sen 2 ⁡ t - 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Agora observe que quando somamos essas duas expressões: O termo 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t na primeira cancela o da segunda e além disso também podemos usar a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1 !

d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 cos 2 ⁡ t + ( 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t ) + sen 2 ⁡ t + t 2 sen 2 ⁡ t - ( 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t ) + c o s 2   t

d x d t 2 + d y d t 2 =   t 2 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t  

Nos deixando simplesmente com:

d x d t 2 + d y d t 2 = t 2 + 1

Passo 3

Por fim, substituímos o intervalo dado ( 0 ≤ t ≤ 1 ) e o termo que calculamos na integral geral do comprimento de uma curva:

L = ∫ 0 1 t 2 + 1 d t

E agora calculamos a integral:

L = 1 2 t t 2 + 1 + 1 2 ln ⁡ t + t 2 + 1 0 1

Aplicando agora os limites de integração e calculando o valor da expressão, temos finalmente o comprimento da curva:

L = 1 2 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 2

Resposta

1 2 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + 2

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