Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 2

Seja γ : α ,   β → R 2 uma curva dada em coordenadas polares por ρ = ρ θ ,   θ ∈ α ,   β .

(Observação: trata-se da curva dada por x = ρ θ cos ⁡ θ ,   y = ρ θ sin ⁡ θ ,   θ ∈ α , β ). Supondo que ρ = ρ θ tenha derivada contínua. Verifique que:

L γ = ∫ α β ρ 2 + d ρ d θ 2 d θ

Passo 1

Para se calcular o comprimento de onda de uma curva, usa-se a relação:

L γ = ∫ a b d y d t 2 + d x d t 2 d θ

Sendo x = γ 1 t   e   y = γ 2 t   t ∈ a , b

O nosso caso é bem parecido, porém, temos a seguinte relação:

Para o nosso caso:   x = ρ θ cos ⁡ θ ,   y = ρ θ sin ⁡ θ ,   θ ∈ α , β , Assim:

L γ = ∫ α β d ρ θ sin ⁡ θ d θ 2 + d ρ θ cos ⁡ θ d ρ 2 d θ

Passo 2

Vamos achar o valor de:

d ρ θ sin ⁡ θ d θ 2 + d ρ θ cos ⁡ θ d ρ 2

d ρ θ sin ⁡ θ d θ = d ρ d θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ρ θ

d ρ θ cos ⁡ θ d ρ = d ρ d θ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ ρ θ

d ρ d θ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ρ θ 2 + d ρ d θ cos ⁡ θ - sin ⁡ θ ρ θ 2 =

= d ρ d θ 2 sin 2 ⁡ θ + 2 d ρ d θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ρ θ + cos 2 ⁡ θ ρ 2 θ + d ρ d θ 2 cos 2 ⁡ θ - 2 d ρ d θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ρ θ + sin 2 ⁡ θ ρ 2 θ =

Lembrando que: sin 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ   e   cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

= d ρ d θ 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 1 2 ρ 2 θ 1 + cos ⁡ 2 θ + 1 2 ρ 2 θ 1 - cos ⁡ 2 θ =

= d ρ d θ 2 + 1 2 ρ 2 θ 1 + 1 + cos ⁡ 2 θ - cos ⁡ 2 θ = d ρ d θ 2 + 1 2 ρ 2 θ 2 = d ρ d θ 2 + ρ 2 θ

Assim:

d ρ θ sin ⁡ θ d θ 2 + d ρ θ cos ⁡ θ d ρ 2 = d ρ d θ 2 + ρ 2 θ

Passo 3

Substituindo de volta na integral:

L γ = ∫ α β d ρ θ sin ⁡ θ d θ 2 + d ρ θ cos ⁡ θ d ρ 2 d θ = L γ = ∫ α β d ρ d θ 2 + ρ 2 θ d θ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: h → s = s 2 , s 2 ,s ≥ 0
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: r → t = 2 t - 1 ,t + 2 ,t ,t ≥ 0
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: r → t = s e n t ,c o s t ,t ≥ 0
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: r → s = 4 cos ⁡ s 4 ,4 s e n s 4 ,s ∈ 0 ,8 π
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: q → s = a cos ⁡ s c ,as e n s c ,b s c ,c 2 = a 2 + b 2