Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = t^2 - t, y = t^4, 1 ≤ t ≤ 4

Passo 1

Fala ai pessoal. Preparado para resolver uma questão?

Nosso objetivo é calcular o comprimento da curva definida pelas funções x = t 2 - t ,   y = t 4 , onde o parâmetro t varia de 1 a 4 .

Separei uma lista de passo a passo, para nos ajudar a resolver.

  1. Identificamos as funções paramétricas.
  2. Derivamos as funções x e y , em função de t .
  3. Usamos a fórmula do comprimento de arco.
  4. L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

  5. Simplificamos a expressão resolvendo a integral.

Seguindo esses passos conseguimos a respostas!

Passo 2

Vamos começar entendendo nossas funções

A curva é definida pelas funções:

x = t 2 - t

y = t 4

E o intervalo do parâmetro é 1 ≤ t ≤ 4 .

Passo 3

Vamos lembrar que nosso objetivo é calcular o comprimento do arco e para isso precisamos obter as derivadas d x d t e d y d t

Para d x d t , iremos utilizar a Regra da potência.

d x d t = 2 t - 1

Para d y d t :

d y d t = 4 t 3

Passo 4

Podemos então aplicar as derivadas na equação do comprimento do arco

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para facilitar a resolução da questão, primeiro iremos resolver dentro da raiz quadrada.

d x d t 2 + d y d t 2

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = 2 t - 1 2 + 4 t 3 2

= 4 t 2 - 4 t + 1 + 16 t 6

Passo 5

Então, escrevendo a integral, temos que:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Substituindo

L = ∫ 1 4 4 t 2 - 4 t + 1 + 16 t 6 d t

L ≈ 255,3756

Resposta

≈ 255,3756

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