Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 38
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
Fala ai pessoal. Preparado para resolver uma questão?
Nosso objetivo é calcular o comprimento da curva definida pelas funções , onde o parâmetro varia de a .
Separei uma lista de passo a passo, para nos ajudar a resolver.
- Identificamos as funções paramétricas.
- Derivamos as funções e , em função de .
- Usamos a fórmula do comprimento de arco.
- Simplificamos a expressão resolvendo a integral.
Seguindo esses passos conseguimos a respostas!
Passo 2
Vamos começar entendendo nossas funções
A curva é definida pelas funções:
E o intervalo do parâmetro é .
Passo 3
Vamos lembrar que nosso objetivo é calcular o comprimento do arco e para isso precisamos obter as derivadas e
Para , iremos utilizar a Regra da potência.
Para :
Passo 4
Podemos então aplicar as derivadas na equação do comprimento do arco
Para facilitar a resolução da questão, primeiro iremos resolver dentro da raiz quadrada.
Então:
Passo 5
Então, escrevendo a integral, temos que:
Substituindo