Calcule o comprimento exato da curva polar

r = e 2 θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Oie, tudo bem com você?! Vamos dar o início a mais uma resolução de atividades aqui.

Temos a curva:

r = e 2 θ

Que está em coordenadas polares, e queremos encontrar o seu comprimento dentro do intervalo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2   d θ

O intervalo de integração a questão já deu pra gente:

a = 0

b = 2 π

Precisaremos então apenas integrar a nossa curva e resolvermos a integral.

Passo 2

Então derivando a nossa curva:

r = e 2 θ

d r d θ = 2 e 2 θ

d r d θ 2 = 4 e 4 θ

Substituindo tudo na integral:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2   d θ

L = ∫ 0 2 π e 4 θ + 4 e 4 θ   d θ

Realizando a soma dentro da raiz:

L = ∫ 0 2 π 5 e 4 θ   d θ

Podemos retirar a raiz de um termo:

L = ∫ 0 2 π 5   e 2 θ d θ

Retirando a constante de dentro da integral:

L = 5 ∫ 0 2 π   e 2 θ d θ

Realizando essa integral:

L = 5 1 2 e 2 θ 2 π 0

Colocando os limites de integração:

L = 5 1 2 e 4 π - 1 2 e 0  

Temos então:

L = 5 2 e 4 π - 1  

Resposta

L = 5 2 e 4 π - 1  

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