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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 32

As dimensões de uma caixa retangular fechada foram medidas como 80   c m , 60   c m e 50   c m , respectivamente, com erro máximo de 0,2   c m em cada dimensão. Utilize os diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da área da superfície da caixa.

Passo 1

Opa, tudo beleza? Questãozinha de diferenciais com contexto, vamos lá!

A questão nos dá as dimensões de uma caixa e pede para que a gente estime o erro máximo da sua área superficial, mas como fazer isso?

Vamos primeiro dar nome aos bois, certo?

Se temos uma caixa de dimensões x , y e z então podemos descrever sua área superficial como

A x , y , z = 2 x y + 2 x z + 2 y z

E agora que definimos essa função nós podemos usar o conceito de diferenciais! Onde o nosso objetivo é encontrar d A !

Para uma função f ( x , y , z ) , a diferencial é dada por

d f = ∂ f ∂ x   d x + ∂ f ∂ y   d y + ∂ f ∂ z   d z

Ou ainda, para o nosso caso

d A = ∂ A ∂ x   d x + ∂ A ∂ y   d y + ∂ A ∂ z   d z

Então só precisamos montar essa expressão para encontrar d A !

Passo 2

Para encontrar ∂ A / ∂ x nós tratamos y e z como constantes, de forma que:

A ( x ) = 2 x y + 2 x z + 2 y z

∂ A ∂ x = ∂ ( 2 x y + 2 x z + 2 y z ) ∂ x

∂ A ∂ x = 2 ( y + z )

E, analogamente, encontramos também

∂ A ∂ y = 2 ( x + z )

∂ A ∂ y = 2 ( x + y )

De forma que a nossa expressão fica

d A = 2 ( y + z ) d x + 2 ( x + z ) d y + 2 ( x + y ) d z

Passo 3

Como o enunciado nos diz que o erro máximo de aferição é de 0,2 então temos

d x = d y = d z = 0,2

Substituindo os diferenciais e as medidas x , y , z = ( 80 ,   60 ,   50 ) na fórmula, obtemos finalmente

d A = 2 60 + 50 0,2 + 80 + 50 0,2 + 80 + 60 0,2

d A = 2 ⋅ 0,2 60 + 50 + 80 + 50 + 80 + 60

d A = 0,4 110 + 130 + 140

d A = 152   c m 2

Resposta

d A = 152   c m 2

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