Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 3
Seja o hemisfério , , e suponha que seja uma função contínua com , , e . Dividindo em quatro retalhos, estime o valor de .
Passo 1
Fala pessoal, o exercício quer que a gente estime o valor de:
onde é o hemisfério , .
Ou seja, é a parte positiva do eixo de uma esfera.
Beleza, mas por onde a gente começa??
Vamos fazer o seguinte, ele nos deu os seguintes pontos:
Para calcular a integral de superfície vamos fazer uma aproximação dividindo o hemisfério em retalhos. Olhando no plano , a projeção do hemisfério é
Cada ponto representa um quadrante e estará associado a uma área. Assim, vamos substituir a integral por uma soma de quatro termos:
Logo podemos dizer que:
Beleza, agora que entendemos podemos ir para a prática. Vamos achar quanto vale cada área através da área total da esfera, e depois iremos substituir na integral, do jeito que está na fórmula.
Substituindo os pontos e as áreas podemos fazer os cálculos.
Passo 2
Se cada representa a área de da área da esfera. Logo:
Vamos achar a área da esfera . Se o raio da esfera é :
Assim,
Passo 3
Agora vamos substituir os valores na equação:
como sabemos que:
Podemos colocá-lo em evidência:
Logo,
Portanto, Sabendo que:
Basta substituir os valores de cada ponto:
Logo,