Use uma calculadora ou um computador para encontrar o comprimento do laço, com precisão de quatro casas decimais. Se necessário, use um gráfico para determinar o intervalo de parâmetro.

r = t * g * theta

π / 6 ≤ θ ≤ π / 3

Passo 1

A curva é dada por:

Passo 2

Para encontrarmos o comprimento desejado,devemos lembrar que o comprimento de arco é dado por:

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2 d θ

Temos que r = t a n θ , logo:

d r d θ = sec 2 ⁡ θ

Passo 3

Aplicando na equação do arco, temos:

L = ∫ π 6 π 3 ( tan 2 ⁡ θ ) 2 + ( sec 2 ⁡ θ ) 2 d θ = ∫ π 6 π 3 tan 2 ⁡ θ + ( sec 4 ⁡ θ ) d θ

Passo 4

Com o auxílio de um programa, calcula-se numericamente a integral:

∫ π 6 π 3 tan 2 ⁡ θ + ( sec 4 ⁡ θ ) d θ ≈ 1,2789

Resposta

O arco possui comprimento aproximado de 1,2789 .

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