Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

h) r(t) = (3t + 1) + (t + 2)j para t ∈ [0, 2]

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos pede para calcular o comprimento de r → t   entre os pontos 0 e 2 .

r → t = 3 t + 1 i → + t + 2 j →

Repare que podemos escrever da seguinte forma:

r → t = 3 t + 1 ,   t + 2

Agora vamos derivar r → t para encontrarmos r ' → t . Assim,

r ' → t = 3 ,   1

Passo 3

Como já temos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 3 2 + 1 2

Logo,

r ' → t = 10

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b 10   d t

Como estamos pegando entre os pontos 0 e 2 :

l = ∫ 0 2 10   d t

Tirando o 10 da integral:

l = 10   ∫ 0 2 d t

Integrando, temos o seguinte:

l = 10   t 0 2

Portanto,

l = 2 10

Resposta

l = 2 10

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