Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 24e
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:
e) ,
Passo 1
A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:
Essa formula nos dá o comprimento da curva entre os pontos e . Repare que é o modulo do vetor . Então vamos lá!
Passo 2
Para começar vamos escrever uma expressão para . O enunciado nos disse o seguinte:
,
Logo,
Passo 3
Agora já temos uma expressão para . Então bora derivar para acharmos !
Derivando,
Assim,
Passo 4
Como já encontramos , vamos ver como fica o modulo desse vetor!
Portanto,
Tirando o da raiz:
Passo 5
Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:
Como estamos pegando entre os pontos e :
Para resolvermos essa integral vamos fazer substituição de variável.
Derivando,
Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração. Assim,
Então nossa integral fica o seguinte:
Tirando o da integral:
Não esquece:quando
Passo 6
Pra finalizar, vamos resolver esse integral!
Usando o lembrete do Passo anterior:
Simplificando:
Aplicando entre os pontos e :
Arrumando dentro do parêntese:
Portanto,