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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 24i

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

i) r → t = t s e n t , t c o s t para t ∈ 0 ,   π

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

O enunciado nos pede para calcular o comprimento de r → t   entre os pontos 0 e π .Incialmente, vamos encontrar r ' → t .

r → t = t s e n t , t c o s t

Para derivarmos, vamos usar a regra do produto. Assim,

r ' → t = s e n t + t c o s t , cos ⁡ t + t - s e n t

Logo,

r ' → t = s e n t + t c o s t , cos ⁡ t - t s e n t

Passo 3

Agora que já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = s e n t + t c o s t 2 + cos ⁡ t - t s e n t 2

Vamos calcular os termos dentro da integral separadamente para não nos perdermos!

s e n t + t c o s t 2 = s e n 2 t + 2 t s e n t cos ⁡ t + t 2 cos 2 ⁡ t

cos ⁡ t - t s e n t 2 = cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t t s e n t + t 2 s e n 2 t

Somando,

s e n t + t c o s t 2 + cos ⁡ t - t s e n t 2 = s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + t 2 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t

Mas lá da trigonometria a gente sabe o seguinte:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Logo,

s e n t + t c o s t 2 + cos ⁡ t - t s e n t 2 = 1 + t 2

Voltando para expressão de r ' → t :

r ' → t = 1 + t 2

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b 1 + t 2   d t

Como estamos pegando entre os pontos 0 e π :

l = ∫ 0 π 1 + t 2 d t

Para calcularmos esse integral, temos que fazer uma substituição. Então vem comigo!

t = t g u

Derivando,

d t = sec 2 ⁡ u d u

Opa, mas como fizemos uma substituição temos que mudar os limites de integração

Para t = 0 :

t g u = 0 → u = 0

Para t = π :

t g u = π → u = a r c t g π

Então nossa integral fica o seguinte:

l = ∫ 0 a r c t g π 1 + t g 2 u   sec 2 ⁡ u d u

Como 1 + t g 2 u = sec 2 ⁡ u :

l = ∫ 0 a r c t g π sec ⁡ u × sec 2 ⁡ u d u

Portanto,

l = ∫ 0 a r c t g π sec 3 ⁡ u d u

Passo 5

l = ∫ 0 a r c t g π sec 3 ⁡ u d u

Para começar, vamos escrever da seguinte forma:

l = ∫ 0 a r c t g π sec 2 ⁡ u sec ⁡ u d u

Como 1 + t g 2 u = sec 2 ⁡ u :

l = ∫ 0 a r c t g π 1 + t g 2 u sec ⁡ u d u

Assim,

l = ∫ 0 a r c t g π sec ⁡ u + t g 2 u sec ⁡ u d u

Separando em dois termos:

l = ∫ 0 a r c t g π sec ⁡ u d u + ∫ 0 a r c t g π t g 2 u sec ⁡ u d u

Não esquece: ∫ sec ⁡ x d x = l n | s e c x + t g ( x ) | + c

Logo,

l = l n s e c x + t g x 0 a r c t g π + ∫ 0 a r c t g π t g 2 u sec ⁡ u d u   i

Passo 6

Para terminarmos, basta calcularmos o segundo termo:

I = ∫ 0 a r c t g π t g 2 u sec ⁡ u d u

Reescrevendo a integral:

I = ∫ 0 a r c t g π t g u × sec ⁡ u t g u d u

Agora vamos usar integração por partes!

∫ 0 a r c t g π   f d g = f g 0 a r c t g π - ∫ 0 a r c t g π g d f   i i

Analisando a integral:

d g = sec ⁡ u t g u → g = sec ⁡ u

f = t g u → d f = sec 2 ⁡ u d u

Usando a relação i i :

I = t g u sec ⁡ u 0 a r c t g π - ∫ 0 a r c t g π sec ⁡ u × sec 2 ⁡ u d u

Portanto,

I = t g u sec ⁡ u 0 a r c t g π - ∫ 0 a r c t g π sec 3 ⁡ u d u

Opa, mas ∫ 0 a r c t g π sec 3 ⁡ u d u é exatamente l . Logo,

I = t g u sec ⁡ u 0 a r c t g π - l

Passo 7

Voltando para i :

l = l n s e c x + t g x 0 a r c t g π + t g u sec ⁡ u 0 a r c t g π - l  

Assim,

l = 1 2 l n s e c x + t g x 0 a r c t g π + 1 2 t g u sec ⁡ u 0 a r c t g π

O primeiro termo fica o seguinte:

1 2 l n s e c x + t g x 0 a r c t g π = 1 2 l n s e c a r c t g π + t g a r c t g π - l n s e c 0 + t g 0

Fazendo as contas:

1 2 l n s e c x + t g x 0 a r c t g π = 1 2 ln ⁡ π + π 2 + 1

Já o segundo:

1 2 t g u sec ⁡ u 0 a r c t g π =   1 2 t g a r c t g π sec ⁡ a r c t g π - t g 0 sec ⁡ 0

Fazendo as contas:

1 2 t g u sec ⁡ u 0 a r c t g π = 1 2 π π 2 + 1

Portanto, o termo l fica o seguinte:

l = 1 2 ln ⁡ π + π 2 + 1 + 1 2 π π 2 + 1

Resposta

l = 1 2 ln ⁡ π + π 2 + 1 + 1 2 π π 2 + 1

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