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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 14

Trace a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ

Passo 1

Fala pessoal. Partiu resolver uma questão de área?

A questão pede para traçar a curva descrita pela equação polar r = 3 - 2 c o s ( 4 θ ) e calcular a área delimitada por ela. Para resolver, os procedimentos a serem seguidos são:

  1. Para traçar a curva polar temos que calcular os valores de r para diferentes valores de θ e plotar esses pontos em um gráfico polar. Isso nos permitirá visualizar a forma da curva e principalmente o limites de integração.
  2. Usaremos a fórmula da área em coordenadas polares,

    3. A = ∫ 1 2 r 2 d θ

    onde o intervalo de integração são os ângulos de início e fim da curva.

  3. Por fim vamos integrar a expressão e aplicar os limites de integração para encontrar a área.

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar traçando o gráfico da curva. Para isso, vamos plotar alguns pontos usando valores específicos de θ e calcular seus respectivos r .

E assim por diante, até θ = 2 π , onde voltamos ao ponto inicial. Sendo assim, o gráfico de r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ é representado pela seguinte curva:

Passo 3

Vamos verificar os limites de integração a partir do gráfico?

Se liga! A linha que forma a fronteira do gráfico começa em ( 0,1 ) e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d , o que representa uma volta completa.

Assim, quando calculamos a área delimitada por uma curva em coordenadas polares, integramos em relação a θ de 0 a 2 π , cobrindo todo o domínio angular da curva.

Passo 4

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 3 - 2 cos ⁡ 4 θ 2 d θ

Resolvendo o produto notável, temos

A = 1 2 ∫ 0 2 π ( 9 - 12   c o s   4 θ + 4   c o s ² 4 θ )   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: c o s 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π 9 - 12 cos ⁡ 4 θ + 4 2 1 + cos ⁡ 8 θ d θ

Aplicando o método da multiplicação distribuitiva no último termo

A = 1 2 ∫ 0 2 π 9 - 12 cos ⁡ 4 θ + 2 + 2 cos ⁡ 8 θ d θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π 11 - 12   c o s   4 θ + 2 cos ⁡ 8 θ   d θ

Passo 5

Resolvendo a integral em cada termo, obtemos

A = 1 2 ∙ 11 θ - 3   s e n   4 θ - 1 4 s e n   8 θ 0 2 π

Aplicando o limite de integração

A = 1 2 ∙ 11 ∙ 2 π - 0 - 0 - 0 - 24 - 0

A = 11 π

Resposta

A = 11 π

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