Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d x d y

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo joia?

Aqui nós vamos precisar calcular a integral dupla:

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d x d y

Chamamos de integral iterada porque é calculada sequencialmente, resolvendo uma integral depois da outra. Para resolver integrais iteradas, seguimos o procedimento de calcular “de dentro para fora”. Ou seja, a gente começa a integral mais interna, a qual está em função de x   na nossa questão.

Primeiro, integramos a função em relação a x . O resultado dessa integral se torna então o integrando da integral externa, que é em função de y . Assim, o valor da integral interna é utilizado como a função a ser integrada na etapa seguinte, permitindo a resolução completa da integral dupla.

Quando estamos integrando em função de x , consideramos y como constante, e quando estamos integrando em função de y , consideramos x constante.

Bora lá!

Passo 2

Vamos lá, pela ordem de integração, a gente vai integrar em x primeiro e depois em y . Vamos tratar y como constante:

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d x d y

Calculando a integral:

∫ 0 1 y e x - y 0 2   d y

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 y e 2 - y - y e - y d y

Passo 3

Vamos integrar em y agora e pronto...

∫ 0 1 y e 2 - y - y e - y d y

Calculando a integral, temos:

- y e 2 - y - e 2 - y + y + 1 e y 0 1

Aplicando os limites de integração:

- e 1 - e 1 + 2 e + e 2 - 1

Juntando os termos: - e 1 - e 1 = - 2 e 1 , temos finalmente o resultado da integral que estamos procurando:

∫ 0 1 ∫ 0 2 y e x - y d x d y = - 2 e + 2 e + e 2 - 1

Prontinho! 😊

Resposta

- 2 e + 2 e + e 2 - 1

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