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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 39

Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = t - 2 sen ⁡ t ,   y = 1 - 2 cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 4 π

Passo 1

Eai gelerinha. De boa? Bora resolver essa questão?

Nosso objetivo é calcular o comprimento da curva definida pelas funções x = t - 2 sen ⁡ t ,   y = 1 - 2 cos ⁡ t , onde o parâmetro t varia de 0 a 4 π .

E como podemos resolver?

  1. Identificando as funções paramétricas.
  2. Derivar as funções x e y , em função de t .
  3. Usar a fórmula do comprimento de arco.

    4. L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

  4. Simplificamos a expressão resolvendo a integral.

Seguindo esses passos conseguimos a respostas!

Passo 2

Vamos começar entendendo nossas funções

A curva é definida pelas funções:

x = t - 2 sen ⁡ t

y = 1 - 2 cos ⁡ t

E o intervalo do parâmetro é 0 ≤ t ≤ 4 π .

Passo 3

Vamos lembrar que nosso objetivo é calcular o comprimento do arco e para isso precisamos obter as derivadas d x d t e d y d t

Para d x d t

d d t t - 2 sen ⁡ t = 1 - 2 cos ⁡ t

Para d y d t

d d t 1 - 2 cos ⁡ t = 2 sen ⁡ t

Passo 4

Podemos então aplicar as derivadas na equação do comprimento do arco

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para facilitar a resolução da questão, primeiro iremos resolver dentro da raiz quadrada.

d x d t 2 + d y d t 2

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = 1 - 2 cos ⁡ t 2 + 2 sen ⁡ t 2

= 1 - 4 cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + 4 sen 2 ⁡ t

= 5 - 4 cos ⁡ t

Passo 5

Então, escrevendo a integral, temos que:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

O intervalo dado é 0 ≤ t ≤ 4 π . Assim,

L = ∫ 0 4 π 5 - 4 cos ⁡ t d t ≈ 26,7298

Resposta

≈ 26,7298

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