Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.6 - Ex. 25
Determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Fala aí, pessoal! Nesta questão, temos uma série alternada, ou seja, suas parcelas variam de sinal alternadamente: ora elas são positivas ora negativas.
A questão nos pede para determinar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Uma série é chamada absolutamente convergente se a soma de seus termos em módulo for convergente, isto é, se nós pegarmos a soma dos valores absolutos dos infinitos termos da série dada e essa soma for um número real, a série é chamada de absolutamente convergente.
Por outro lado, ela é chamada de condicionalmente convergente se ela convergir, ou seja, se a soma tender a um número real, mas, ao mesmo tempo, não for absolutamente convergente.
Por último, a série é divergente se a soma de seus termos tender ao infinito positivo ou negativo.
Existe um teorema que diz o seguinte: se uma série for absolutamente convergente, então ela é convergente.
E, para determinarmos se uma série é absolutamente convergente, nós usaremos o Teste da Razão, que diz o seguinte:
- Se , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
- Se ou se , então a série dada é divergente.
- Se , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.
Nós usaremos este teste para concluir se a série dada é absolutamente convergente ou não.
Passo 2
Então, pessoal, vamos determinar a expressão para a divisão absoluta para nós podermos usar o Teste da Razão.
A expressão do n-ésimo termo da série nos foi dado na questão:
Nós determinamos o (n + 1)-ésimo termo substituindo n por n + 1 na expressão de an:
Ou seja,
Galera, veja que o numerador de an é o produto de todos os números ímpares de 1 a 2n – 1. Da mesma forma, no termo an+1, o numerador também será o produto de todos os ímpares de 1 a 2(n + 1) – 1 = 2n + 1.
Como estamos interessados na divisão absoluta, nós não precisamos nos preocupar com o sinal dos termos acima. Assim, nós desconsideramos o fator (-1) das expressões de an e an+1
Assim, temos que:
Ou seja,
Podemos, então, simplificar o produto , que aparece tanto no numerador quanto no denominador e ficamos com:
Passo 3
Determinada a razão , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Veja que quando n se torna muito grande, a divisão se torna cada vez mais próxima de zero e nós concluímos que:
E segue do Teste da Razão que a série dada é absolutamente convergente, portanto ela converge.
Resposta
A série é absolumente convergente, portanto converge.