Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 37
Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
Eai gelerinha. De boa? Bora resolver essa questão?
Nosso objetivo é calcular o comprimento da curva definida pelas funções , onde o parâmetro varia de a .
E como podemos resolver?
- Identificando as funções paramétricas.
- Derivar as funções e , em função de .
- Usar a fórmula do comprimento de arco.
- Simplificamos a expressão resolvendo a integral.
Seguindo esses passos conseguimos a respostas!
Passo 2
Vamos começar entendendo nossas funções
A curva é definida pelas funções:
E o intervalo do parâmetro é .
Passo 3
Vamos lembrar que nosso objetivo é calcular o comprimento do arco e para isso precisamos obter as derivadas e
Para
Derivando individualmente os termos
O primeiro termos utilizamos a regra do potência, enquanto que o segundo termo resolvemos pela regra da cadeia.
Passo 4
Para
Derivando individualmente os termos
O primeiro termos utilizamos a regra do potência, enquanto que o segundo termo resolvemos pela regra da cadeia.
Passo 5
Podemos então aplicar as derivadas na equação do comprimento do arco
Para facilitar a resolução da questão, primeiro iremos resolver dentro da raiz quadrada.
Como e , temos
Resolvendo os produtos notáveis
Simplificandos os termos semelhantes
Sendo assim
Passo 6
Então, escrevendo a integral, temos que:
Substituindo
Reescrevendo
Resolvendo separadamente
Separando a constante da integral
Integrando a primeira parte e simplificando o expoente do segundo termo
Separando a constante da integral
Integrando a segunda parte
Resolvendo os limites de integração, temos