Calcule sen^2(pi/12) - cos^2(pi/12) + tg(pi/3) + tg(14pi/3)

Passo 1

Nosso objetivo nessa questão não é calcular cada parcela de forma separada e sim achar uma forma de reescrever a expressão para calcular de forma mais eficaz o seu valor.

Nas primeiras duas parcelas, temos: s e n 2 π 12 - cos 2 ⁡ π 12 que se você reparar bem é quase o que temos na relação: cos ⁡ 2 a = cos 2 ⁡ a - s e n 2 a apenas com o sinal trocado, então podemos escrever: s e n 2 π 12 - cos 2 ⁡ π 12 = - cos 2 ⁡ π 12 - s e n 2 π 12 = - cos ⁡ 2 π 12 - cos ⁡ π 6

Passo 2

Agora vamos focar nas parcelas que faltam: t g π 3 + t g 14 π 3 . A primeira parcela não é difícil de se calcular pois já temos o valor dela na tabela de senos e cossenos que mais utilizamos: t g π 3 = t g   60 ° = 3  

Passo 3

A parcela t g 14 π 3 pode ser reduzida “tirando” as voltas completas no círculo trigonométrico, ou seja, tirando 2 π até que fique um ângulo menor que 2 π no argumento da função tangente.Vamos fazer 14 π 3 - 2 π = 8 π 3 , então tiramos 2 π de novo: 8 π 3 - 2 π = 2 π 3 .Logo,

  t g 14 π 3 = t g 2 π 3 = - t g   60 °

Passo 4

Juntando todas as informações que temos até agora, vamos finalmente calcular a expressão dada: s e n 2 π 12 - cos 2 ⁡ π 12 + t g π 3 + t g 14 π 3 = - cos ⁡ π 6 + t g   60 ° - t g   60 ° - cos ⁡ π 6 = - 3 2

Resposta

s e n 2 π 12 - cos 2 ⁡ π 12 + t g π 3 + t g 14 π 3 = - 3 2

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