Calcule o valor da expressão sen 105° - cos 75°

Passo 1

Aqui vamos transformar essa expressão em uma soma de senos e cossenos que conhecemos o valor, por exemplo: s e n   105 ° = s e n   ( 60 ° + 45 ° ) e cos ⁡ 75 ° = cos  ⁡ ( 30 ° + 45 ° ) . A partir disso, vamos utilizar a fórmula do seno e do cosseno da soma para acabar com nosso problema.

Cosseno da soma: c o s   a +   b =   c o s   a   ∙ c o s   b -   s e n   a ∙   s e n   b

Seno da soma:

s e n a + b = s e n   a ∙ cos ⁡ b + s e n   b ∙ cos ⁡ a

Passo 2

Agora vamos substituir os dados na fórmula: s e n   60 ° + 45 ° = s e n   60 °   ∙ cos ⁡ 45 ° + s e n   45 ° ∙ cos ⁡ 60 °

s e n   60 ° + 45 ° = 3 2   ∙ 2 2 + 2 2 ∙ 1 2

s e n   60 ° + 45 ° = 6 4 + 2 4

s e n   105 ° = 6 + 2 4 .

cos  ⁡ ( 30 ° + 45 ° ) = c o s   30 °   ∙ c o s   45 ° -   s e n   30 ° ∙   s e n   45 °

cos  ⁡ ( 30 ° + 45 ° ) = 3 2   ∙ 2 2 - 1 2 ∙ 2 2

cos  ⁡ ( 30 ° + 45 ° ) = 6 4 - 2 4

cos  ⁡ 75 ° = 6 - 2 4

Passo 3

Agora que temos o s e n   105 °   e o cos ⁡ 75 ° , vamos substituir na expressão pedida pelo problema ( s e n   105 °   -   c o s   75 ° ):

s e n   105 °   -   c o s   75 ° = 6 + 2 4 - 6 - 2 4

s e n   105 °   -   c o s   75 ° = 6 + 2 - 6 + 2 4

s e n   105 °   -   c o s   75 ° = 2 2 4

s e n   105 °   -   c o s   75 ° = 2 2

Resposta

s e n   105 °   -   c o s   75 ° = 2 2

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