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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 190

Calcule o valor da expressão s e n 105 ° - c o s 75 ° .

Passo 1

Aqui vamos transformar essa expressão em uma soma de senos e cossenos que conhecemos o valor, por exemplo: s e n 105 ° = s e n ( 60 ° + 45 ° ) e cos 75 ° = cos ( 30 ° + 45 ° ) . A partir disso, vamos utilizar a fórmula do seno e do cosseno da soma para acabar com nosso problema.

Cosseno da soma: c o s (a + b) = c o s a * c o s b - s e n a * s e n b

Seno da soma:

s e n (a + b) = s e n a * cos b + s e n b * cos a

Passo 2

Agora vamos substituir os dados na fórmula: s e n (60 ° + 45 °) = s e n 60 ° * cos 45 ° + s e n 45 ° * cos 60 °

s e n (60 ° + 45 °) = (sqrt(3))/(2) * (sqrt(2))/(2) + (sqrt(2))/(2) * (1)/(2)

s e n (60 ° + 45 °) = (sqrt(6))/(4) + (sqrt(2))/(4)

s e n 105 ° = (sqrt(6) + sqrt(2))/(4) .

cos ( 30 ° + 45 ° ) = c o s 30 ° * c o s 45 ° - s e n 30 ° * s e n 45 °

cos ( 30 ° + 45 ° ) = (sqrt(3))/(2) * (sqrt(2))/(2) - (1)/(2) * (sqrt(2))/(2)

cos ( 30 ° + 45 ° ) = (sqrt(6))/(4) - (sqrt(2))/(4)

cos 75 ° = (sqrt(6) - sqrt(2))/(4)

Passo 3

Agora que temos o s e n 105 ° e o cos 75 ° , vamos substituir na expressão pedida pelo problema ( s e n 105 ° - c o s 75 ° ):

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (sqrt(6) + sqrt(2))/(4) - ((sqrt(6) - sqrt(2))/(4))

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (sqrt(6) + sqrt(2) - sqrt(6) + sqrt(2))/(4)

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (2 sqrt(2))/(4)

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (sqrt(2))/(2)

Resposta

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (sqrt(2))/(2)

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