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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 7d

7. Calcule

d ) int_0^((pi)/(2)) cos^4 x d x

Passo 1

Primeiro vamos utilizar a propriedade de exponencial (a^m)^n = a^(m * n) . Temos então,

int cos^4 x d x = int ( cos^2 x )^2 d x

Agora, usaremos a identidade trigonométrica cos^2 alpha = (1)/(2) + (cos 2 a)/(2) . No nosso caso, é necessário substituir a = x .

int ( cos^2 x )^2 d x = int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2))^2 d x

Precisamos fazer a distributiva agora, sendo da forma (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2))^2 d x = int [((1)/(2))^2 + 2 * (1)/(2) * (cos 2 x)/(2) + ((cos 2 x)/(2))^2] d x

Usando novamente a identidade cos^2 alpha = (1)/(2) + (cos 2 a)/(2) , sendo a = 2 x

int ((1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (cos^2 2 x)/(4)) d x = int [(1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (1)/(4) * ((1)/(2) + (cos ( 2 * 2 x ))/(2))] d x =

int ((1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (1)/(8) + (cos 4 x)/(8)) d x = int [(3)/(8) + (cos 2 x)/(2) + (cos 4 x)/(8)] d x

Passo 2

Precisamos lembrar que, int c d x = c x + k e int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k . Sendo c , a e k constantes. Logo,

int [(3)/(8) + (cos 2 x)/(2) + (cos 4 x)/(8)] d x = (3)/(8) x + (1)/(2) * (sin 2 x)/(2) + (1)/(4) * (sin 4 x)/(8) + k = (3)/(8) x + (sin 2 x)/(4) + (sin 4 x)/(32) + k

Passo 3

Substituindo o intervalo da integral

int_0^((pi)/(2)) cos^4 x d x = (3)/(8) ((pi)/(2)) + (sin (2 (pi)/(2)))/(4) + (sin (4 (pi)/(2)))/(32) - (0 + (sin 0)/(4) + (sin 0)/(32))

(3 pi)/(16) + (sin pi)/(4) + (sin 2 pi)/(32) - 0 = (3 pi)/(16) + 0 + 0 = (3 pi)/(16)

Resposta

Portanto, temos que

int_0^((pi)/(2)) cos^4 x d x = (3 pi)/(16)

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