7. Calcule d ) int_0^((pi)/(2)) cos^4 x d x Passo 1Primeiro vamos utilizar a propriedade de exponencial (a^m)^n = a^(m * n) . Temos então, int cos^4 x d x = int ( cos^2 x )^2 d x Agora, usaremos a identidade trigonométrica cos^2 alpha = (1)/(2) + (cos 2 a)/(2) . No nosso caso, é necessário substituir a = x . int ( cos^2 x )^2 d x = int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2))^2 d x Precisamos fazer a distributiva agora, sendo da forma (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 int ((1)/(2) + (cos 2 x)/(2))^2 d x = int [((1)/(2))^2 + 2 * (1)/(2) * (cos 2 x)/(2) + ((cos 2 x)/(2))^2] d x Usando novamente a identidade cos^2 alpha = (1)/(2) + (cos 2 a)/(2) , sendo a = 2 x int ((1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (cos^2 2 x)/(4)) d x = int [(1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (1)/(4) * ((1)/(2) + (cos ( 2 * 2 x ))/(2))] d x = int ((1)/(4) + (cos 2 x)/(2) + (1)/(8) + (cos 4 x)/(8)) d x = int [(3)/(8) + (cos 2 x)/(2) + (cos 4 x)/(8)] d x Passo 2Precisamos lembrar que, int c d x = c x + k e int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k . Sendo c , a e k constantes. Logo, int [(3)/(8) + (cos 2 x)/(2) + (cos 4 x)/(8)] d x = (3)/(8) x + (1)/(2) * (sin 2 x)/(2) + (1)/(4) * (sin 4 x)/(8) + k = (3)/(8) x + (sin 2 x)/(4) + (sin 4 x)/(32) + k Passo 3Substituindo o intervalo da integral int_0^((pi)/(2)) cos^4 x d x = (3)/(8) ((pi)/(2)) + (sin (2 (pi)/(2)))/(4) + (sin (4 (pi)/(2)))/(32) - (0 + (sin 0)/(4) + (sin 0)/(32)) (3 pi)/(16) + (sin pi)/(4) + (sin 2 pi)/(32) - 0 = (3 pi)/(16) + 0 + 0 = (3 pi)/(16) RespostaPortanto, temos que int_0^((pi)/(2)) cos^4 x d x = (3 pi)/(16) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosIntegrais de funções não negativas. Use a desigualdade max-min para mostrar que, se f é integrável, então: f x ≥ 0e ma ,b ⇒ ∫ a b f x d x ≥ 0 .Nos Exercícios 55-62, faça o gráfico da função e determine o seu valor médio ao longo do intervalo dado.57. f(x) = -3 * x^2 - 1 em [0, 1]Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.67. ∫ - 1 2 3 x 2 - 2 x + 1 d xDemonstre que o valor de int_0^1 sqrt(x + 8) d x situa-se entre 2 sqrt(2) tildetilde 2,8 e 3 .Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.63. ∫ a b c d xVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Introdução e Definição de IntegralVer exercício 12.2 - 2aVer exercício 12.1 - 4a