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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 1h

Calcule

(d y)/(d x) = - 2 y + cos 2 x , t > 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

(d y)/(d x) = y g (x) + f (x)

Teremos esse resultado:

y = k e^(int g (x) d x) + e^(int g (x) d x) int f (x) e^(- int g (x) d x) d x (k in R)

Para isso precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com y e o outro lado o f (x) , o fator integrante será:

e^(- int g (x) d x)

Para o nosso caso o fator integrante será:

e^(- int - 2 d x) = e^(2 x)

Assim fazemos:

(d y)/(d x) - y g (x) = f (x)

[(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x) = f (x) e^(- int g (x) d x)

Vemos que [(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x) nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x) = [(d y)/(d x) - y g (x)] e^(- int g (x) d x)

Assim:

[(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x)] = f (x) e^(- int g (x) d x)

Agora faremos integral dos dois lados:

int [(d (y e^(- int g (x) d x)))/(d x)] d t = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x

y e^(- int g (x) d x) + k = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

y e^(- int g (x) d x) = int f (x) e^(- int g (x) d x) d x + k

Por fim:

y = k e^(int g (x) d x) + e^(int g (x) d x) int f (x) e^(- int g (x) d x) d x , (k in R)

Para o e^(int g (x) d x) , teremos:

e^(int - 2 d x) = e^(- 2 x)

Então, para o nosso caso teremos:

y = k e^(- 2 x) + e^(- 2 x) int cos 2 x e^(2 x) d x

Passo 2

Vamos ficar com:

y = k e^(- 2 x) + e^(- 2 x) int cos 2 x e^(2 x) d x

Vamos fazer a substituição u = 2 x -> d u = 2 d x

y = k e^(- 2 x) + e^(- 2 x) (1)/(2) int cos u e^u d u

Pra resolver a integral, vamos usar integração por partes:

int cos u e^u d u = e^u sin u - int sin u e^u d u

Pra resolver essa segunda integral também usaremos integração por partes:

int sin u e^u d u = - e^u cos u + int cos u e^u d u

Substituindo:

int cos u e^u d u = e^u sin u - (- e^u cos u + int cos u e^u d u) =

int cos u e^u d u = e^u sin u + e^u cos u - int cos u e^u d u

Temos o termo int cos u e^u d u dos dois lados, vamos ficar com:

int cos u e^u d u + int cos u e^u d u = e^u sin u + e^u cos u

2 int cos u e^u d u = e^u sin u + e^u cos u

int cos u e^u d u = (1)/(2) (e^u sin u + e^u cos u)

Podemos voltar agora pra variável x :

int cos 2 x e^(2 x) d x = (1)/(2) (e^(2 x) sin 2 x + e^(2 x) cos 2 x)

Voltamos pra função y :

y = k e^(- 2 x) + e^(- 2 x) xx (1)/(2) ((1)/(2) (e^(2 x) sin 2 x + e^(2 x) cos 2 x))

y = k e^(- 2 x) + (1)/(4) (sin 2 x + cos 2 x)

Assim:

y = k e^(- 2 x) + (1)/(4) (sin 2 x + cos 2 x)

Resposta

y = k e^(- 2 x) + (1)/(4) (sin 2 x + cos 2 x)

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