Calcule ∫ 1 1 x 2 cos ⁡ x   d x .

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, nessa questão teremos que calcular a seguinte integral:

∫ 1 1 x 2 cos ⁡ x   d x

Esse exercício parece complicado para esse momento dos nossos estudos, mas vamos ver que não há muito mistério aqui.

Como essa é uma integral definida, usaremos o teorema fundamental do calculo. Assim,

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F x será a função resultante da nossa integração.

Então, vamos observar com um pouco mais de cuidado o que está acontecendo com nossa integral.

Vem comigo.

Passo 2

Temos que calcular:

∫ 1 1 x 2 cos ⁡ x   d x

Se pensarmos na integral como a soma da área entre a curva e o eixo x no intervalo (considerando a parte da curva abaixo do eixo como negativa), é intuitivo pensar que se temos um limite de integração começando e terminando no mesmo número, a integral é zero (pois não há área nenhuma entre 1 e 1!).

Então, temos a seguinte propriedade de integrais:

∫ a a f x d x = F a - F a = 0

Sendo f ( x ) qualquer função definida em x = a . Então o valor da integral do problema é:

∫ 1 1 x 2 cos ⁡ x   d x = 0

E com isso, temos nossa solução sem precisarmos nos preocupar com o processo de integração dessa função mais complicada. Os limites de integração nos salvaram!

Resposta

∫ 1 1 x 2 cos ��� x   d x = 0

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