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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 37

Calcule a integral.

37.

∫ 1 e x 2 + x + 1 x   d x

Passo 1

Pessoal, nessa questão devemos calcular a seguinte integral:

∫ 1 e x 2 + x + 1 x   d x

Para isso, vamos utilizar o teorema fundamental do cálculo e o teorema da variação total, onde:

∫ a b f x d x = F b - F a

Sendo F a antiderivada de f :

F ' x = f x

Dessa forma, precisamos encontrar qual função F ( x ) que quando derivada resulta em f ( x ) e então substituir os valores do intervalo da integral definida.

Passo 2

Mexendo um pouco na nossa integral, teremos:

∫ 1 e x 2 + x + 1 x   d x

= ∫ 1 e x 2 x + x x + 1 x   d x

Simplificando:

= ∫ 1 e x + 1 + 1 x   d x

Agora, devemos encontrar qual função que quando derivada resulta em:

f x = x + 1 + 1 x

Passo 3

Podemos usar aqui a regra da antiderivada para uma potência de x :

x n = x n + 1 n + 1 '

Isso é válido, desde que n ≠ - 1 . Quando temos n = - 1 , o que vai acontecer é:

x - 1 = 1 x = ln ⁡ x '  

E também temos a regra da antiderivada para uma constante:

C = C x '

Dessa forma, teremos a seguinte primitiva:

f x = x + 1 + 1 x

F x = x 2 2 + x + ln ⁡ x

Passo 4

Aplicando agora o teorema da variação total, teremos:

∫ a b f x d x = F b - F a

∫ 1 e x 2 + x + 1 x   d x = F e - F 1

= e 2 2 + e + ln ⁡ e - 1 2 + 1 + ln ⁡ 1

Resolvendo:

= e 2 2 + e + 1 - 1 2 + 1 + 0

= e 2 2 + e + 1 - 3 2

Logo, teremos:

∫ 1 e x 2 + x + 1 x   d x = e 2 2 + e - 1 2

Resposta

∫ 1 e x 2 + x + 1 x   d x = e 2 2 + e - 1 2

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