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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.2 - Ex. 41

Calcule ∫ π π s e n ²   x . cos 4 ⁡ x . d x

Passo 1

Muito bem galera, antes de sair resolvendo essa integral, vamos prestar atenção a um detalhe bem importante: a integral vai de π até π .

Lembrando do significado geométrico de uma integral definida. Ela é a área abaixo da curva indo de a até b .

∫ a b f x d x = A a → b

Passo 2

Nesse caso, temos que o limite inferior e o limite superior são iguais.

Então, qual o valor da área abaixo de curva se o x não se altera.

Não tem área né... afinal, não tem base para essa área.

Dessa forma, podemos dizer que qualquer integral onde os limites são iguais resulta em zero:

∫ a a f x d x = 0

Logo, a resposta da nossa questão é:

∫ π π s e n ²   x . cos 4 ⁡ x . d x = 0

Simples assim.

Passo 3

Uma outra forma de olhar é:

Supondo que resolvemos a integral

∫ π π s e n ²   x . cos 4 ⁡ x . d x = F x   | π π

no final o que faríamos?

Substituiríamos os intervalos, intervalo superior menos o inferior:

∫ π π s e n ²   x . cos 4 ⁡ x . d x = F π - F π

Independente do resultado da integral, já que teremos valores iguais para ambos os intervalos, a subtração entre eles será sempre 0 .

∫ π π s e n ²   x . cos 4 ⁡ x . d x = F π - F π = 0

Concluímos então:

∫ π π s e n ²   x . cos 4 ⁡ x . d x = 0

Resposta

∫ π π s e n ²   x . cos 4 ⁡ x . d x = 0

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