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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.2 - Ex. 65

Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade.

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ 26 3

Passo 1

Uma propriedade das integrais nos diz que se temos duas funções, f e g , e que f x ≥ g x , temos que:

∫ a b f x   d x ≥ ∫ a b g x   d x

Se tomarmos x 4 + 1 como f x , e g x = x 4 = x 2 , temos:

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ ∫ 1 3 x 2   d x

Passo 2

Como ∫ 1 3 x 2   d x é dada por:

∫ 1 3 x 2   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f 1 + 2 i n 2 n   =

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 2 i n 2 2 n   = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n + 8 i n 2 + 8 i 2 n 3 =

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n + ∑ i = 1 n 8 i n 2 + ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 8 i   n 2 n n + 1 2 + 8 n 3 n n + 1 2 n + 1 6 =

= lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 n + 1   n + 4 2 n 2 + 3 n + 1 3 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 + 4 n + 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ 2 + 4 + 4 n + 8 3 + 4 n + 4 3 n 2 = 26 3

∫ 1 3 x 2   d x = 26 3

Então:

∫ 1 3 x 4 + 1   d x ≥ 26 3

A desigualdade é demonstrada.

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3. Calcule e verifique sua resposta por derivação. c ) ∫ cos ⁡ 5 xd x
2. Calculed ) int_0^1 (1)/(1 + x^2) d x
3. Calcule e verifique sua resposta por derivaçãop ) int ((1)/(3) cos 3 x - (1)/(7) sin 7 x) d x
3. Calcule e verifique sua resposta por derivaçãoa ) int sin x d x
3. Calcule e verifique sua resposta por derivação. e )∫ cos ⁡ 7 td t