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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 188

Calcule cotg 165°, sec 255° e cossec 15°.

Passo 1

Nessa questão vamos apenas aplicar as fórmulas que acabamos de ver no livro. Para começar, precisamos “quebrar” os ângulos dados em uma soma ou diferença de ângulos dos quais conhecemos seus valores nas funções trigonométricas.

Por exemplo: 165° = 120° + 45°, 255° = 210° + 45° e 15° = 45° - 30°.

Passo 2

No primeiro caso, vimos que cotg 165° pode ser escrita como cotg (120°+45°). Como temos uma soma na cotangente, vamos usar a fórmula de cotangente da soma:

c o t g (a + b) = (c o t g a * c o t g b - 1)/(c o t g a + c o t g b)

Substituindo na fórmula, teremos:

c o t g (120 ° + 45 °) = (c o t g 120 ° * c o t g 45 ° - 1)/(c o t g 120 ° + c o t g 45 °)

Reduzindo os ângulos ao primeiro quadrante, podemos escrever que c o t g 120 ° = - c o t g 60 ° , logo:

c o t g (120 ° + 45 °) = (- c o t g 60 * c o t g 45 ° - 1)/(- c o t g 60 ° + c o t g 45 °)

c o t g (120 ° + 45 °) = (- (sqrt(3))/(3) * 1 - 1)/(- (sqrt(3))/(3) + 1)

c o t g (120 ° + 45 °) = ((- sqrt(3) - 3)/(3))/((- sqrt(3) + 3)/(3))

c o t g (120 ° + 45 °) = (- sqrt(3) - 3)/(3) * (3)/(- sqrt(3) + 3)

c o t g (120 ° + 45 °) = (- sqrt(3) - 3)/(- sqrt(3) + 3)

Racionalizando a fração:

(- sqrt(3) - 3)/(- sqrt(3) + 3) * ((sqrt(3) + 3))/((sqrt(3) + 3)) = (- 12 - 6 sqrt(3))/(6) = - ( 2 + sqrt(3) )

No fim das contas, c o t g 165 ° = - (2 + sqrt(3))

Passo 3

No segundo caso, vamos escrever sec 255 ° como sec ( 210 ° + 45 ° ) e para isso vamos utilizar a identidade sec x = (1)/(cos x) . Logo, teremos:

sec ( 210 ° + 45 ° ) = (1)/(cos (45 ° + 210 °))

Agora vamos utilizar a fórmula do cosseno da soma:

c o s (a + b) = c o s a * c o s b - s e n a * s e n b

Ou seja: sec ( 210 ° + 45 ° ) = (1)/(cos 45 ° * c o s 210 ° - s e n 45 ° * s e n 210 °)

Lembrando que cos 210 ° = - cos 30 ° e s e n 210 ° = - s e n 30 ° , vamos substituir os valores na fórmula:

sec ( 210 ° + 45 ° ) = (1)/((sqrt(2))/(2) * (- (sqrt(3))/(2)) - (sqrt(2))/(2) * (- (1)/(2)))

sec ( 210 ° + 45 ° ) = (1)/(- (sqrt(6))/(4) + (sqrt(2))/(4))

sec ( 210 ° + 45 ° ) = 1 * (4)/(sqrt(2) - sqrt(6))

Racionalizando a fração:

(4)/(sqrt(2) - sqrt(6)) * (sqrt(2) + sqrt(6))/(sqrt(2) + sqrt(6)) = 4 * (sqrt(2) + sqrt(6))/(- 4) = - ( sqrt(2) + sqrt(6) )

No fim das contas, sec 255 ° = - ( sqrt(2) + sqrt(6) )

Passo 4

No terceiro caso, escreveremos c o s s e c 15 ° como sendo c o s s e c ( 45 ° - 30 ° ) utilizando a identidade c o s s e c x = (1)/(s e n x) . Logo, teremos

c o s s e c ( 45 ° - 30 ° ) = (1)/(s e n ( 45 ° - 30 ° ))

Agora, vamos utilizar a fórmula do seno da soma:

s e n (a + b) = s e n a * cos b + s e n b * cos a

Agora teremos:

c o s s e c ( 45 ° - 30 ° ) = (1)/(s e n 45 ° * cos 30 ° + s e n 30 ° * cos 45 °)

Substituindo os valores na fórmula ficaremos com:

c o s s e c ( 45 ° - 30 ° ) = (1)/((sqrt(2))/(2) * (sqrt(3))/(2) + (1)/(2) * (sqrt(2))/(2))

c o s s e c ( 45 ° - 30 ° ) = (1)/((sqrt(6))/(4) + (sqrt(2))/(4))

c o s s e c ( 45 ° - 30 ° ) = 1 * (4)/(sqrt(2) + sqrt(6))

Racionalizando a fração, ficaremos com:

(4)/(sqrt(2) + sqrt(6)) * (sqrt(2) - sqrt(6))/(sqrt(2) - sqrt(6)) = 4 * (sqrt(2) - sqrt(6))/(- 4) = - ( sqrt(2) - sqrt(6) )

No fim das contas, c o s s e c 15 ° = - ( sqrt(2) - sqrt(6) )

Resposta

c o t g 165 ° = - (2 + sqrt(3)) ; sec 255 ° = - (sqrt(2) + sqrt(6)) ; c o s s e c 15 ° = - ( sqrt(2) - sqrt(6) )

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