Calcule ∫ 8 x 4 cos ⁡ 2 x d x   usando integração por partes tabulada.

Passo 1

Cara, esse é o tipo de integração que a gente usa quando uma das funções é um polinômio de grau mais alto. Aí a gente pode criar uma tabelinha que facilita as contas. Vem comigo!

A primeira coisa que a gente faz é derivar o polinômio até chegar em 0 , e preencher uma coluna inteira com os resultados.

Como nosso polininômio é 8 x 4 , fazemos assim:

8 x 4 ' = 32 x 3

32 x 3 ' = 96 x 2

96 x 2 ' = 192 x

192 x ' = 192

192 ' = 0

Chegamos em 0 , nossa tabelinha fica assim:

Passo 2

Agora a gente integra a outra função várias vezes para completar a tabela:

cos ⁡ 2 x

Usando a substituição u = 2 x , em todas as integrais que forem feitas, a gente vê que ficam assim:

∫ cos ⁡ 2 x d x = s e n   2 x 2

∫ s e n   2 x 2 d x = - cos ⁡ 2 x 4

∫ - cos ⁡ 2 x 4 d x = - s e n   2 x 8

∫ - s e n   2 x 8 d x = cos ⁡ 2 x 16

∫ cos ⁡ 2 x 16 d x = s e n   2 x 32

A tabelinha fica:

Tá linda!

Passo 3

A gente vai colocar umas setinhas inclinadas na tabela, alternando sinais, começando com + . E aí vamos fazer o produto entre as funções que estão ligadas pelas setinhas, multiplicando por - 1 se o sinal for de menos.

Depois a gente soma tudo e esse é o resultado da integral. Fica assim:

∫ 8 x 4 cos ⁡ 2 x d x = 8 x 4 s e n   2 x 2 + 32 x 3 cos ⁡ 2 x 4 - 96 x 2 s e n   2 x 8 - 192 x cos ⁡ 2 x 16 + 192 s e n   2 x 32

∫ 8 x 4 cos ⁡ 2 x d x = 4 x 4   s e n   2 x + 8 x 3 cos ⁡ 2 x - 12 x 2   s e n   2 x - 12 x cos ⁡ 2 x + 6   s e n   2 x + C

Não podemos esquecer da constante de integração, porque isso não é uma integral definida.

Ufa! Conseguimos!

Resposta

∫ 8 x 4 cos ⁡ 2 x d x = 4 x 4   s e n   2 x + 8 x 3 cos ⁡ 2 x - 12 x 2   s e n   2 x - 12 x cos ⁡ 2 x + 6   s e n   2 x + C

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