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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 51

Calcule a integral usando integração por partes tabulada.

∫ e a b s e n b x d x

Passo 1

Podemos resolver o exercício utilizando Integração por partes tabulada, que consiste em derivar repetidamente uma das funções (geralmente o polinômio) até chegar em zero.

Após derivar repetidamente os termos, iremos traçar uma seta partindo da primeira entrada da coluna de derivação, até o ponto da coluna de integração na linha de baixo, e faremos isso até atingir o último termo e identificaremos com sinais + , - ... iniciando sempre com o sinal positivo. Bora lá?

Começando com a derivação repetida ⁡ e integração repetida :

Agora, vamos considerar os favores interligados pela seta, como uma multiplicação, inclusive de sinais. Dessa forma:

∫ e a b s e n b x d x = s e n b x + 1 a e a x + b c o s b x - 1 a 2 e a x + - b 2 a 2 ∫ e a b s e n b x d x

Sabendo que ∫ e a b s e n b x d x = I , ficamos com:

I = s e n b x + 1 a e a x + b c o s b x - 1 a 2 e a x + - b 2 a 2 I

Isolando I , temos:

I 1 + b 2 a 2 = s e n b x 1 a e a x - b c o s b x 1 a 2 e a x

Isolando o termo em comum:

I 1 + b 2 a 2 = 1 a e a x s e n b x - b a . c o s b x

Isolando I novamente, ficamos com:

I = e a x a s e n b x - b . c o s b x a 2 + b 2 + C

Resposta

I = e a x a s e n b x - b . c o s b x a 2 + b 2 + C

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